Determine a derivada da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (assuma que o enunciado está bem-formulado):
Informações dadas e hipóteses que vou usar (assuma que o enunciado está bem-formulado):
- A variável de diferenciação é
. - O símbolo
aparece apenas no expoente ; aqui vou tratar como um parâmetro constante em relação a (ou seja, não depende de ). - A função é escrita como uma potência onde a base depende de
e o expoente é constante: base , expoente . - Em relação ao domínio: para potências com expoente real não inteiro normalmente precisamos de
para garantir que a expressão seja real; esse detalhe de domínio eu comentarei quando necessário.
O que preciso entregar: a expressão de
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Escolha do método: como o expoente
é constante (em relação a
), a forma mais direta e elementar é usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. Vou explicar essas regras com calma antes de aplicar.
Regra da potência (caso expoente constante): se temos uma função
onde
é uma constante e
é uma função diferenciável, então
Aqui cada símbolo significa:
é a função que está sendo elevada,
é o expoente (número fixo), e
é a derivada de
em relação a
. Essa fórmula é uma combinação natural da regra da cadeia com a regra da potência elementar.
Passo 3
Aplique a identificação das partes da regra ao nosso problema. Identifico:
Ou seja, a função interna
é
e o expoente constante é
.
Passo 4
Agora preciso da derivada de
. Lembrete básico da trigonometria/diferenciação: a derivada de
em relação a
é
Aqui
é a função seno e o sinal negativo vem da propriedade da derivada do cosseno.
Passo 5
Substituo tudo na fórmula da regra da potência:
Expliquei: o fator
vem do expoente,
é a base elevada ao expoente menos um, e
é a derivada da base.
Passo 6
Organizando e simplificando o sinal:
Essa é uma forma muito prática e direta da derivada.
Passo 7
(Verificação alternativa — método didático extra) Outra maneira para entender isso é usar diferenciação logarítmica, que é útil quando tanto a base quanto o expoente variam; aqui o expoente é constante, mas o procedimento confirma o resultado. Tome
e aplique logaritmo natural:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
obtemos
que coincide com o resultado do Passo 6.
Passo 8
Observação sobre domínio (importante para a prova): a manipulação com
exigiu temporariamente
. A regra da potência aplicada no Passo 5 também pressupõe que a expressão esteja definida (por exemplo, se
não for inteiro e
a potência pode não ser real). Em muitos exercícios de prova é assumido que estamos em pontos onde a função é bem definida e diferenciável; se necessário, especifique o domínio
ou que
é inteiro/paridade que permita extensão.