Determine a derivada da função f(w)=(\cos (w))^{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(w)=(\cos(w))^{x^{2}}.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (assuma que o enunciado está bem-formulado):
  • A variável de diferenciação é w.
  • O símbolo x aparece apenas no expoente \,x^{2}\,; aqui vou tratar x como um parâmetro constante em relação a w (ou seja, x não depende de w).
  • A função é escrita como uma potência onde a base depende de w e o expoente é constante: base =\cos(w), expoente =x^{2}.
  • Em relação ao domínio: para potências com expoente real não inteiro normalmente precisamos de \cos(w)>0 para garantir que a expressão seja real; esse detalhe de domínio eu comentarei quando necessário.
O que preciso entregar: a expressão de f'(w), a derivada de f em relação a w.

Passo 2

Escolha do método: como o expoente \,x^{2}\, é constante (em relação a w), a forma mais direta e elementar é usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. Vou explicar essas regras com calma antes de aplicar.
Regra da potência (caso expoente constante): se temos uma função F(w)=(u(w))^{n} onde n é uma constante e u(w) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dw} (u(w))^{n} = n\,(u(w))^{n-1}\,u'(w).
Aqui cada símbolo significa: u(w) é a função que está sendo elevada, n é o expoente (número fixo), e u'(w) é a derivada de u em relação a w. Essa fórmula é uma combinação natural da regra da cadeia com a regra da potência elementar.

Passo 3

Aplique a identificação das partes da regra ao nosso problema. Identifico:
u(w)=\cos(w),\qquad n=x^{2}.
Ou seja, a função interna u é \cos(w) e o expoente constante é x^{2}.

Passo 4

Agora preciso da derivada de u(w)=\cos(w). Lembrete básico da trigonometria/diferenciação: a derivada de \cos(w) em relação a w é
\frac{d}{dw}\cos(w) = -\sin(w).
Aqui \sin(w) é a função seno e o sinal negativo vem da propriedade da derivada do cosseno.

Passo 5

Substituo tudo na fórmula da regra da potência:
\frac{d}{dw}(\cos(w))^{x^{2}} = x^{2}\,(\cos(w))^{x^{2}-1}\,\bigl(-\sin(w)\bigr).
Expliquei: o fator x^{2} vem do expoente, (\cos(w))^{x^{2}-1} é a base elevada ao expoente menos um, e -\sin(w) é a derivada da base.

Passo 6

Organizando e simplificando o sinal:
\frac{d}{dw}(\cos(w))^{x^{2}} = -\,x^{2}\,\sin(w)\,(\cos(w))^{x^{2}-1}.
Essa é uma forma muito prática e direta da derivada.

Passo 7

(Verificação alternativa — método didático extra) Outra maneira para entender isso é usar diferenciação logarítmica, que é útil quando tanto a base quanto o expoente variam; aqui o expoente é constante, mas o procedimento confirma o resultado. Tome f(w)=(\cos(w))^{x^{2}} e aplique logaritmo natural:
\ln f(w) = x^{2}\,\ln(\cos(w)).
Diferenciando ambos os lados em relação a w:
\frac{f'(w)}{f(w)} = x^{2}\,\frac{d}{dw}\ln(\cos(w)) = x^{2}\,\frac{-\sin(w)}{\cos(w)} = -x^{2}\tan(w).
Multiplicando por f(w)=(\cos(w))^{x^{2}} obtemos
f'(w) = (\cos(w))^{x^{2}}\bigl(-x^{2}\tan(w)\bigr) = -x^{2}\sin(w)\,(\cos(w))^{x^{2}-1},
que coincide com o resultado do Passo 6.

Passo 8

Observação sobre domínio (importante para a prova): a manipulação com \ln(\cos(w)) exigiu temporariamente \cos(w)>0. A regra da potência aplicada no Passo 5 também pressupõe que a expressão esteja definida (por exemplo, se x^{2} não for inteiro e \cos(w)<0 a potência pode não ser real). Em muitos exercícios de prova é assumido que estamos em pontos onde a função é bem definida e diferenciável; se necessário, especifique o domínio \{w\mid \cos(w)>0\} ou que x^{2} é inteiro/paridade que permita extensão.

Resposta

-x^{2}\sin(w)\,(\cos(w))^{x^{2}-1}

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