Encontre os pontos para os quais o gráfico da função y=\sqrt[3]{x^{2}-2 x} tem reta tangente horizontal a derivada existe para todo x \in \mathbb{R} ?.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos do gráfico da função y=\sqrt[3]{x^{2}-2x} onde a reta tangente é horizontal; (2) responder se a derivada existe para todo x\in\mathbb{R}.
Informações dadas: a função é
y=\sqrt[3]{x^{2}-2x}=(x^{2}-2x)^{1/3},
definida para todo x porque a raiz cúbica é definida para números reais positivos, nulos e negativos. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”? Significa que a derivada da função é zero nesse ponto. Mais precisamente, se f(x)=(x^{2}-2x)^{1/3}, procuramos x tais que f'(x)=0.
Antes de aplicar a regra da cadeia, vamos lembrar duas coisas importantes, com linguagem simples:
  • A derivada da função g(u)=u^{1/3} (a raiz cúbica) é g'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3}, desde que isso faça sentido (isto é, desde que u\neq 0). Note que u^{-2/3}=1/u^{2/3}, então em u=0 essa expressão explodiria (diverge).
  • A composição f(x)=g(u(x)) tem derivada f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) desde que g' exista no ponto u(x) e u seja diferenciável. Ou seja, podemos usar a regra da cadeia somente quando u(x)\neq 0 (para esse g).
No nosso caso u(x)=x^{2}-2x e u'(x)=2x-2. Vamos aplicar isso para os pontos onde u(x)\neq 0, isto é, exceto possivelmente onde x^{2}-2x=0.

Passo 3

Calcular a derivada para x tais que x^{2}-2x\neq 0. Usando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{3}\big(x^{2}-2x\big)^{-2/3}\cdot(2x-2).
É mais legível escrever:
f'(x)=\frac{2x-2}{3}\,(x^{2}-2x)^{-2/3}.
Aqui o numerador é 2x-2 e o denominador (implícito) é 3(x^{2}-2x)^{2/3}. Esta fórmula vale para todos os x tais que x^{2}-2x\neq 0.

Passo 4

Encontrar os pontos onde a tangente é horizontal, ou seja, resolver f'(x)=0 para os x onde a fórmula acima vale. Como (x^{2}-2x)^{-2/3} é diferente de zero (quando definida), a condição f'(x)=0 reduz-se a:
2x-2=0.
Portanto
x=1.
Agora calculamos o valor de y em x=1:
y=\sqrt[3]{1^{2}-2\cdot 1}=\sqrt[3]{1-2}=\sqrt[3]{-1}=-1.
Logo há uma única reta tangente horizontal no ponto (1,-1). (Verificamos que em x=1 a quantidade dentro da raiz cúbica é -1\neq 0, então a derivada dada pela fórmula existe e vale zero.)

Passo 5

Falta verificar os pontos onde a regra da cadeia não podia ser aplicada diretamente: x tais que x^{2}-2x=0. Resolvendo x^{2}-2x=0 obtemos x(x-2)=0, então os pontos críticos são x=0 e x=2. Precisamos checar se a derivada existe nesses pontos usando a definição (quociente incremental).
Começamos por x=0. A derivada, se existir, é
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{h^{2}-2h}-0}{h}.
Fatoramos dentro da raiz cúbica:
h^{2}-2h=h(h-2),
e usamos \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}. Assim
\frac{\sqrt[3]{h^{2}-2h}}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}\,\sqrt[3]{h-2}}{h}=\sqrt[3]{h-2}\cdot\frac{\sqrt[3]{h}}{h}.
Agora \dfrac{\sqrt[3]{h}}{h}=h^{1/3-1}=h^{-2/3}. Portanto o quociente é
\sqrt[3]{h-2}\;h^{-2/3}.
Quando h\to 0, \sqrt[3]{h-2}\to\sqrt[3]{-2} (um número finito e negativo) e h^{-2/3}\to+\infty. Portanto o produto tende a -\infty (módulo infinito), logo o limite não existe finito. Conclusão: f'(0) não existe (a derivada diverge).

Passo 6

Agora x=2. De modo análogo:
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{(2+h)^{2}-2(2+h)}-0}{h}.
Calcule o polinômio:
(2+h)^{2}-2(2+h)=4+4h+h^{2}-4-2h=2h+h^{2}=h(2+h).
Portanto
\frac{\sqrt[3]{h(2+h)}}{h}=\sqrt[3]{2+h}\;h^{-2/3}.
Quando h\to 0, \sqrt[3]{2+h}\to\sqrt[3]{2}>0 e h^{-2/3}\to+\infty, então o quociente tende a +\infty. Assim o limite não existe finito, e f'(2) não existe.

Passo 7

Conclusões finais reunidas: a derivada existe e é dada por
f'(x)=\frac{2x-2}{3}\,(x^{2}-2x)^{-2/3}
para todo x tal que x^{2}-2x\neq 0 (ou seja, para todo x\neq 0,2). A derivada não existe nos pontos x=0 e x=2. A tangente horizontal ocorre somente em x=1, no ponto (1,-1).

Resposta

(1,-1)
Não. A derivada não existe em x=0 e em x=2.

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