Encontre os pontos para os quais o gráfico da função
tem reta tangente horizontal a derivada existe para todo
?.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos do gráfico da função
onde a reta tangente é horizontal; (2) responder se a derivada existe para todo
.
Informações dadas: a função é
Informações dadas: a função é
definida para todo
porque a raiz cúbica é definida para números reais positivos, nulos e negativos. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”? Significa que a derivada da função é zero nesse ponto. Mais precisamente, se
, procuramos
tais que
.
Antes de aplicar a regra da cadeia, vamos lembrar duas coisas importantes, com linguagem simples:
- A derivada da função
(a raiz cúbica) é , desde que isso faça sentido (isto é, desde que ). Note que , então em essa expressão explodiria (diverge). - A composição
tem derivada desde que exista no ponto e seja diferenciável. Ou seja, podemos usar a regra da cadeia somente quando (para esse ).
No nosso caso
e
. Vamos aplicar isso para os pontos onde
, isto é, exceto possivelmente onde
.
Passo 3
Calcular a derivada para
tais que
. Usando a regra da cadeia:
É mais legível escrever:
Aqui o numerador é
e o denominador (implícito) é
. Esta fórmula vale para todos os
tais que
.
Passo 4
Encontrar os pontos onde a tangente é horizontal, ou seja, resolver
para os
onde a fórmula acima vale. Como
é diferente de zero (quando definida), a condição
reduz-se a:
Portanto
Agora calculamos o valor de
em
:
Logo há uma única reta tangente horizontal no ponto
. (Verificamos que em
a quantidade dentro da raiz cúbica é
, então a derivada dada pela fórmula existe e vale zero.)
Passo 5
Falta verificar os pontos onde a regra da cadeia não podia ser aplicada diretamente:
tais que
. Resolvendo
obtemos
, então os pontos críticos são
e
. Precisamos checar se a derivada existe nesses pontos usando a definição (quociente incremental).
Começamos por
. A derivada, se existir, é
Fatoramos dentro da raiz cúbica:
e usamos
. Assim
Agora
. Portanto o quociente é
Quando
,
(um número finito e negativo) e
. Portanto o produto tende a
(módulo infinito), logo o limite não existe finito. Conclusão:
não existe (a derivada diverge).
Passo 6
Agora
. De modo análogo:
Calcule o polinômio:
Portanto
Quando
,
e
, então o quociente tende a
. Assim o limite não existe finito, e
não existe.
Passo 7
Conclusões finais reunidas: a derivada existe e é dada por
para todo
tal que
(ou seja, para todo
). A derivada não existe nos pontos
e
. A tangente horizontal ocorre somente em
, no ponto
.
Resposta
Não. A derivada não existe em