Calcular a derivada da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes que o enunciado fornece ou impõe:
- A expressão envolve
, portanto devemos ter para que o logaritmo esteja definido. - O numerador é
de uma função de ; para que seja real, o argumento deve ficar em , mas para derivar não precisamos restringir agora além de lembrar essa condição de domínio. - Vamos denotar internamente o argumento de
por uma função auxiliar para simplificar a escrita:
Passo 2
Identificamos que
é uma razão (quociente) entre duas funções: numerador
e denominador
. Para derivar uma razão usamos a regra do quociente, que diz: se
, então
Aqui
e
. Vamos aplicar essa fórmula; primeiro precisamos de
e de
. Note que
pois
.
Passo 3
Para obter
usamos a regra da cadeia porque
. A derivada da função
em relação a
é
Pela regra da cadeia, se
, então
Agora só falta calcular
e
.
Passo 4
Observe que podemos simplificar
:
porque
. Agora calculemos
. A derivada de
é
. A derivada de
em relação a
usa a mudança de base:
, logo
Portanto
Passo 5
Substituímos
e
na expressão de
:
Isso é resultado direto da regra da cadeia aplicada à
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do quociente com
,
,
e
:
Aqui apenas substituímos as expressões já calculadas e colocamos tudo sobre o mesmo denominador
.
Passo 7
Podemos deixar a derivada em uma forma mais limpa, mantendo a explicitação de cada parte para facilitar leitura na prova. Reescrevendo de forma organizada:
Esse é o resultado final e é prático de memorizar: primeiro simplifique o argumento de
(aqui ficou
), calcule sua derivada, use a regra da cadeia para o numerador e a regra do quociente para a função inteira.