Calcular a derivada da função f(s)=\frac{\arcsin \left(\frac{s+2 \log _{5}(s)}{2}\right)}{s+1}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(s)=\frac{\arcsin\!\big(\frac{s+2\log_{5}(s)}{2}\big)}{s+1}
e pede para calcular a derivada f'(s). Informações relevantes que o enunciado fornece ou impõe:
  • A expressão envolve \log_{5}(s), portanto devemos ter s>0 para que o logaritmo esteja definido.
  • O numerador é \arcsin de uma função de s; para que \arcsin seja real, o argumento deve ficar em [-1,1], mas para derivar não precisamos restringir agora além de lembrar essa condição de domínio.
  • Vamos denotar internamente o argumento de \arcsin por uma função auxiliar para simplificar a escrita: \;u(s)=\frac{s+2\log_{5}(s)}{2}.

Passo 2

Identificamos que f(s) é uma razão (quociente) entre duas funções: numerador N(s)=\arcsin(u(s)) e denominador D(s)=s+1. Para derivar uma razão usamos a regra do quociente, que diz: se \;f=\dfrac{N}{D}, então
f'=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}.
Aqui N'= \dfrac{dN}{ds} e D'=\dfrac{dD}{ds}. Vamos aplicar essa fórmula; primeiro precisamos de D' e de N'. Note que D'(s)=1 pois D(s)=s+1.

Passo 3

Para obter N'(s) usamos a regra da cadeia porque N(s)=\arcsin(u(s)). A derivada da função \arcsin(x) em relação a x é
\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Pela regra da cadeia, se N(s)=\arcsin(u(s)), então
N'(s)=\frac{u'(s)}{\sqrt{\,1-u(s)^{2}\,}}.
Agora só falta calcular u(s) e u'(s).

Passo 4

Observe que podemos simplificar u(s):
u(s)=\frac{s+2\log_{5}(s)}{2}=\frac{s}{2}+\log_{5}(s),
porque \frac{2\log_{5}(s)}{2}=\log_{5}(s). Agora calculemos u'(s). A derivada de \frac{s}{2} é \frac{1}{2}. A derivada de \log_{5}(s) em relação a s usa a mudança de base: \log_{5}(s)=\dfrac{\ln(s)}{\ln(5)}, logo
\frac{d}{ds}\log_{5}(s)=\frac{1}{s\ln(5)}.
Portanto
u'(s)=\frac{1}{2}+\frac{1}{s\ln(5)}.

Passo 5

Substituímos u(s) e u'(s) na expressão de N'(s):
N'(s)=\frac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{s\ln(5)}}{\sqrt{\,1-\big(\dfrac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)^{2}\,}}.
Isso é resultado direto da regra da cadeia aplicada à \arcsin.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do quociente com N'(s), N(s)=\arcsin\!\big(\dfrac{s}{2}+\log_{5}(s)\big), D(s)=s+1 e D'(s)=1:
f'(s)=\frac{N'(s)\,D(s)-N(s)\,D'(s)}{D(s)^{2}} =\frac{\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{s\ln(5)}}{\sqrt{\,1-\big(\frac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)^{2}\,}}\,(s+1)-\arcsin\!\big(\tfrac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)}{(s+1)^{2}}.
Aqui apenas substituímos as expressões já calculadas e colocamos tudo sobre o mesmo denominador (s+1)^{2}.

Passo 7

Podemos deixar a derivada em uma forma mais limpa, mantendo a explicitação de cada parte para facilitar leitura na prova. Reescrevendo de forma organizada:
f'(s)=\frac{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{s\ln(5)}\right)\dfrac{(s+1)}{\sqrt{\,1-\big(\dfrac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)^{2}\,}}-\arcsin\!\big(\dfrac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)}{(s+1)^{2}}.
Esse é o resultado final e é prático de memorizar: primeiro simplifique o argumento de \arcsin (aqui ficou \dfrac{s}{2}+\log_{5}(s)), calcule sua derivada, use a regra da cadeia para o numerador e a regra do quociente para a função inteira.

Resposta

f'(s)=\frac{\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{s\ln(5)}\right)\frac{(s+1)}{\sqrt{\,1-\big(\frac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)^{2}\,}}-\arcsin\!\big(\tfrac{s}{2}+\log_{5}(s)\big)}{(s+1)^{2}}

Exercícios relacionados