Obtenha uma equação da reta tangente ao gráfico de f(x)= cossec x+cotg x no ponto x=pi4.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=csc x+cot x
no ponto x0=pi/4.
Para isso precisamos de dois ingredientes:
  1. O valor f(pi/4).
  2. A derivada f'(x) e seu valor em x=pi/4.
    Em seguida aplicamos a fórmula da reta tangente:
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0)

Passo 2

Calcular f(pi/4).
Como sin(pi/4)=tfracraiz22, temos
csc!l(tfracpi4r)=1sin(pi/4)=raiz2, cot!l(tfracpi4r)=cos(pi/4)sin(pi/4)=1
Logo
fl(tfracpi4r) =csc!l(tfracpi4r)+cot!l(tfracpi4r) =raiz2+1

Passo 3

Determinar a derivada f'(x).
Sabendo que
ddxl(csc xr)=-csc xcot x, ddxl(cot xr)=-csc^2x,
segue
f'(x) =-csc xcot x;-;csc^2x =-csc xl(cot x+csc xr)

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=pi/4.
Já temos csc(pi/4)=raiz2 e cot(pi/4)=1, então
f'l(tfracpi4r) =-raiz2,l(1+raiz2r) =-raiz2-2

Passo 5

Montar a equação da reta tangente.
Usando
y - fl(tfracpi4r) =f'l(tfracpi4r),l(x-tfracpi4r),
substituímos f(pi/4)=raiz2+1 e f'(pi/4)=-2-raiz2.
Logo a reta é
y - (raiz2+1) =(-2-raiz2)l(x-tfracpi4r)

Resposta

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