Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(x)=(1-x)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada. Informações claras e simples:
  • Função dada: f(x)=(1-x)^{3}.
  • Pedido: determinar f'(x) usando as regras de derivação (mostrar passo a passo).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Regra da cadeia (forma prática para potências compostas): se g(x)=\big(u(x)\big)^{n}, então
g'(x)=n\big(u(x)\big)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna e n é um número real. A ideia é: derivar a potência como se fosse x^n (multiplicando por n e reduzindo o expoente) e depois multiplicar pela derivada da parte interna u'(x).
  • Derivada de uma soma e constante: \dfrac{d}{dx}[a\cdot x^{m}]=a\cdot m x^{m-1} e \dfrac{d}{dx}[C]=0 (onde C é constante).
    Vou aplicar a regra da cadeia com u(x)=1-x e n=3. Também mostrarei uma verificação alternativa expandindo o polinômio.

Passo 3

Identificar a função interna e sua derivada:
  • Seja u(x)=1-x.
  • Derivada de u: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(1-x)=0-1=-1.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
f(x)=\big(u(x)\big)^{3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=1-x e u'(x)=-1:
f'(x)=3(1-x)^{2}\cdot(-1)=-3(1-x)^{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (expandindo antes de derivar), para reforçar a compreensão:
  • Expandir (1-x)^{3} usando o binômio de Newton:
(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}.
  • Derivar termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(1\big)=0,\qquad \frac{d}{dx}\big(-3x\big)=-3,\qquad \frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=6x,\qquad \frac{d}{dx}\big(-x^{3}\big)=-3x^{2}.
Somando:
f'(x)=-3+6x-3x^{2}.
  • Confirmar que ambas as formas coincidem:
-3(1-x)^{2}=-3\big(1-2x+x^{2}\big)=-3+6x-3x^{2},
logo são equivalentes.

Passo 6

Resumo didático rápido: a maneira mais direta na prova é usar a regra da cadeia com u(x)=1-x. Lembre-se de derivar a parte interna (aqui deu -1) e multiplicar.

Resposta

f'(x)=-3(1-x)^{2}

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