Determine a derivada da função. Simplifique quando possível.
f(x)=tg^-1(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=tan^-1(x). O conteúdo que vamos usar é a derivada de uma função inversa, que pode ser obtida via diferenciação implícita ou pela regra geral de inversas.

Passo 2

Seja y=tan^-1(x). Então tan(y)=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x por via implícita, temos
sec^2(y),y' = 1
Isolando y',
y' = 1sec^2(y)

Passo 3

Para simplificar, usamos a identidade sec^2(y)=1+tan^2(y) e o fato de tan(y)=x. Logo
sec^2(y)=1+x^2
e, substituindo em y',
y' = 11+x^2

Resposta

f'(x) = 11+x^2

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