Exercício:

  1. Dada as funções de lei de formação f(x)=2 x+5 e g(x)=-3 x+1, podemos afirmar que o valor de f(g(1)) é igual a:
    A) 0
    B) 1
    C) 2
    D) 3
    E) 4
  2. Conhecendo as funções f(x)=log 2 x+1 e a função g(x)=2^x, então, a função f(g(x)) é dada pela lei de formação:
    A) g(f(x))=x^2
    B) g(f(x))=2^log x
    C) g(f(x))=x+1
    D) g(f(x))=2 x
    E) g(f(x))=2^x+1

Função inversa

Definição:

Seja a função f: A B em que A é domínio e B é contradomínio, a função inversa de f será a função descrita por f^-1: B A, ou seja, o domínio e o contradomínio invertem-se.
Obs: f^-1 não significa 1f(x).

Exemplo:

Se f(1)=5, f(3)=7 e f(8)=-10, encontre e f^-1(5), f^-1(7), f^-1(-10).
Da definição de temos f^-1 temos
f^-1(5)=1 porque f(1)=5
cc f^-1(7)=3 & porque f(3)=7 f^-1(-10)=8 & porque f(8)=-10
O gráfico de uma função f e o gráfico de sua inversa f^-1 são simétricos em relação à reta y=x.

Teorema:

Uma função f possui inversa, se e somente se, f for bijetora.
Exemplo: calcular a inversa da função f(x)=2 x+1.
Resolução:
1으) Trocamos x por y e y por x :
x=2 y+1
2^ ㅇ) ) Isolamos o y :
y=x-12
Portanto, a função inversa de f é: f^-1(x)=x-12.

Exercício:

  1. Encontre a lei de formação das funções inversas de
    a) f(x)=x+5.
    b) f(x)=2^x.
    c) f(x)=x-13.
    d) f(x)=1x-3
  2. Seja f: A B, tal que f(x)=5 x-3, uma função inversível, então o valor de f^-1(7) é:
    a) 0
    b) 1
    c) 2
    d) 3
    e) 4
  3. considere os conjuntos A=1,3,4,7 e B=-4,2, 72, 6 e a função f : A B tal que f(x)=x+3x-2. A função f é invertível? Em caso positivo, calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira parte, ele pede para calcular composições de funções:
  1. f(x)=2x+5 e g(x)=-3x+1, achar f(g(1)).
  2. f(x)=log2x+1 e g(x)=2^x, achar f(g(x)).
Na segunda parte, ele trata de função inversa e pede:
1a–d) encontrar a lei de formação de f^-1 para quatro funções dadas;
2) para f(x)=5x-3, calcular f^-1(7);
3) mostrar que f(x)=x+3x-2 em A=1,3,4,7 é invertível e achar sua inversa.
Conteúdo: operações com funções, definição e cálculo de inversa trocando x por y e isolando.

Passo 2

Para achar f(g(1)), primeiro calculo
g(1) = -3cdot1 + 1 = -2
e depois
fl(g(1)r) = f(-2) = 2cdot(-2) + 5 = 1
Logo, a alternativa correta é a (B).

Passo 3

Para f(g(x)) com f(x)=log2x+1 e g(x)=2^x, faço
fl(g(x)r) = log2l(2^xr) + 1 = x + 1
Isso corresponde à alternativa (C).

Passo 4

Para achar a inversa de uma função f, passo 1) troco (x,y), escrevo x=f(y); 2) isolo y; 3) chamo o resultado de f^-1(x).

Passo 5

Função f(x)=x+5. Escrevo
x = y + 5
y = x - 5
Logo
f^-1(x) = x - 5

Passo 6

Função f(x)=2^x. Escrevo
x = 2^y
y = log2x
Logo
f^-1(x) = log2x

Passo 7

Função f(x)=x-13. Escrevo
x = y-13
3x = y - 1
y = 3x + 1
Logo
f^-1(x) = 3x + 1

Passo 8

Função f(x)=1x-3. Escrevo
x = 1y-3
1x = y - 3
y = 1x + 3
Logo
f^-1(x) = 1x + 3

Passo 9

Função f(x)=5x-3. Escrevo
x = 5y - 3
5y = x + 3
y = x+35
Então f^-1(x)=x+35. Para f^-1(7) tenho
f^-1(7) = 7+35 = 2,
ou seja, alternativa (c).

Passo 10

Função fcolon Ato B com A=1,3,4,7, B=-4,2,tfrac72,6 e f(x)=x+3x-2. Calculo em cada elemento de A:
f(1)=-4, f(3)=6, f(4)=tfrac72, f(7)=2,
que são exatamente os elementos de B sem repetição, logo é bijetora e tem inversa. Para achá-la, escrevo
y = x+3x-2
y(x-2) = x + 3
yx - 2y = x + 3
x(y-1) = 2y + 3
x = 2y+3y-1
Trocando y por x,
f^-1(x) = 2x + 3x - 1

Resposta

  1. (B)
  2. (C)
1a) f^-1(x)=x-5
1b) f^-1(x)=log2x
1c) f^-1(x)=3x+1
1d) f^-1(x)=1x+3
  1. (c) 2
  2. Sim, é bijetora e
f^-1(x)=2x+3x-1

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