Determine a derivada das funções abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada. Dados fornecidos:
- A função é
. - O objetivo é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos entender a regra que vamos usar: se tivermos uma função composta da forma
, onde
é outra função de
, a derivada de
é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia, aplicada a essa situação, diz que:
Aqui o que isso significa, em palavras simples: a derivada da exponencial
é ela mesma,
, multiplicada pela derivada do que está dentro do expoente. Vou mostrar passo a passo como aplicar isso.
Passo 3
Identificamos a função interna (o expoente) como
Agora calculamos a derivada de
. Usamos a regra do poder (power rule) e a linearidade da derivada:
- A derivada de
é , porque a regra geral diz . - A derivada de
é . - A derivada da constante
é .
Portanto,
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia que escrevemos no Passo 2. Substituindo
e
obtemos:
Isso já é a forma final da derivada.
Passo 5
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: em
,
Isso confirma que a fórmula funciona e mostra como calcular um valor específico da derivada.