Determine a derivada das funções abaixo.
(b) f(x)=e^{x^{2}+x-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada. Dados fornecidos:
  • A função é f(x)=e^{x^{2}+x-1}.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos entender a regra que vamos usar: se tivermos uma função composta da forma f(x)=e^{u(x)}, onde u(x) é outra função de x, a derivada de f é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia, aplicada a essa situação, diz que:
\text{se } f(x)=e^{u(x)} \text{ então } f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.ã
Aqui o que isso significa, em palavras simples: a derivada da exponencial e^{(\cdot)} é ela mesma, e^{(\cdot)}, multiplicada pela derivada do que está dentro do expoente. Vou mostrar passo a passo como aplicar isso.

Passo 3

Identificamos a função interna (o expoente) como
u(x)=x^{2}+x-1.
Agora calculamos a derivada de u. Usamos a regra do poder (power rule) e a linearidade da derivada:
  • A derivada de x^{2} é 2x, porque a regra geral diz \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada da constante -1 é 0.
    Portanto,
u'(x)=2x+1.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia que escrevemos no Passo 2. Substituindo u(x) e u'(x) obtemos:
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=(2x+1)\,e^{x^{2}+x-1}.
Isso já é a forma final da derivada.

Passo 5

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: em x=0,
f'(0)=(2\cdot 0+1)\,e^{0^{2}+0-1}=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.
Isso confirma que a fórmula funciona e mostra como calcular um valor específico da derivada.

Resposta

(2x+1)e^{x^{2}+x-1}

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