Nas aulas, você viu mais uma regra de derivação: a regra da cadeia. Cada linha da tabela abaixo é uma escrita da regra da cadeia, em diferentes notações.
Regra da cadeia
Se
, então
Se
, então
Utilize essa em conjunto com as tabelas das listas de exercícios 2.5 e 2.6 .
Nos itens abaixo, identifique funções
e
de modo que
.
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(e)
.
| Regra da cadeia |
| Se
|
| Se
|
|
|
|
|
Nos itens abaixo, identifique funções
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(e)
Passo 1
O enunciado pede que, para
, eu identifique funções
e
tais que
.
Informações dadas: a função alvo é . Nota do enunciado: cada item pode ter mais de uma solução correta.
Nada mais será assumido — vamos achar decomposições válidas e úteis.
Informações dadas: a função alvo é
Nada mais será assumido — vamos achar decomposições válidas e úteis.
Passo 2
O que significa escrever
?
Significa que existe uma função que primeiro transforma o
em algum valor intermediário (vamos chamar esse valor de
), e depois existe uma função
que aplica a operação final sobre esse
. Em notação:
Significa que existe uma função
Na prática, para identificar
e
olhamos para a operação “externa” (o que é feita por último) e para a operação “interna” (o que é feita primeiro).
Passo 3
Olhemos para
e identifiquemos a operação exterior e a interior de forma natural:
- A operação exterior é a raiz quadrada
. - A operação interior é o seno
.
Portanto a escolha mais direta é tomarcomo o resultado de e fazer a raiz sobre . Assim definimos:
Verificação rápida:
. Está correto.
Passo 4
Vou aproveitar para te mostrar como usar isso na prova com a regra da cadeia — assim você aprende a aplicar, não só identificar. A regra da cadeia diz que, se
, então
Aqui
é a derivada de
em relação ao seu argumento (que chamei de
) e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Calculemos as derivadas parciais necessárias (passo a passo, mastigado):
- Para
, usamos a regra do poder: a derivada de é . Então
Expliquei: aqui
é a variável independente de
.
- Para
, sabemos que a derivada do seno é o cosseno:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia com as expressões acima:
Substituindo
e
:
Como
, temos
Observação importante sobre domínio: a expressão
(e a fórmula da derivada) exige
para valores reais; a fórmula do
com denominador
exige
. Em pontos onde
(por exemplo
),
está bem definido para a função original, mas a fórmula simplificada da derivada pode não valer (é preciso estudar a derivada por definição nesses pontos).
Passo 7
Alternativas válidas (menos úteis, mas corretas) que também satisfazem
:
- Tomar
e . Então . Essa é válida, mas em prova geralmente preferimos a decomposição em que é a raiz e o seno, porque facilita aplicar a regra da cadeia em dois passos simples. - Em geral, qualquer par
e tais que é aceito; as duas acima são as mais naturais.