Nas aulas, você viu mais uma regra de derivação: a regra da cadeia. Cada linha da tabela abaixo é uma escrita da regra da cadeia, em diferentes notações.
Regra da cadeia
Se h(x)=(f \circ g)(x), então h^{\prime}(x)=\left(f^{\prime} \circ g\right)(x) g^{\prime}(x)
Se h(x)=f(g(x)), então h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)
(u \circ v)^{\prime}=\left(u^{\prime} \circ v\right) v^{\prime}
\frac{d u}{d t}=\frac{d u}{d x} \frac{d x}{d t}
Utilize essa em conjunto com as tabelas das listas de exercícios 2.5 e 2.6 .
Nos itens abaixo, identifique funções f e g de modo que h(x)=f(g(x)).
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(e) h(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}.

Passo 1

O enunciado pede que, para h(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}, eu identifique funções f e g tais que h(x)=f(g(x)).
Informações dadas: a função alvo é h(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}. Nota do enunciado: cada item pode ter mais de uma solução correta.
Nada mais será assumido — vamos achar decomposições válidas e úteis.

Passo 2

O que significa escrever h(x)=f(g(x))?
Significa que existe uma função g que primeiro transforma o x em algum valor intermediário (vamos chamar esse valor de u), e depois existe uma função f que aplica a operação final sobre esse u. Em notação:
u=g(x),\qquad h(x)=f(u)=f(g(x)).
Na prática, para identificar f e g olhamos para a operação “externa” (o que é feita por último) e para a operação “interna” (o que é feita primeiro).

Passo 3

Olhemos para h(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x} e identifiquemos a operação exterior e a interior de forma natural:
  • A operação exterior é a raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}.
  • A operação interior é o seno \operatorname{sen} x.
    Portanto a escolha mais direta é tomar u como o resultado de \operatorname{sen} x e fazer a raiz sobre u. Assim definimos:
f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, \qquad g(x)=\operatorname{sen} x.
Verificação rápida: f(g(x))=f(\operatorname{sen} x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}=h(x). Está correto.

Passo 4

Vou aproveitar para te mostrar como usar isso na prova com a regra da cadeia — assim você aprende a aplicar, não só identificar. A regra da cadeia diz que, se h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'(g(x))\;g'(x).
Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento (que chamei de u) e g' é a derivada de g em relação a x.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais necessárias (passo a passo, mastigado):
  • Para f(u)=u^{1/2}, usamos a regra do poder: a derivada de u^{n} é n u^{n-1}. Então
f'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Expliquei: aqui u é a variável independente de f.
  • Para g(x)=\operatorname{sen} x, sabemos que a derivada do seno é o cosseno:
g'(x)=\cos x.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com as expressões acima:
h'(x)=f'(g(x))\,g'(x).
Substituindo f' e g:
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot \cos x.
Como g(x)=\operatorname{sen} x, temos
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen} x}}\cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen} x}}.
Observação importante sobre domínio: a expressão \sqrt{\operatorname{sen} x} (e a fórmula da derivada) exige \operatorname{sen} x\ge 0 para valores reais; a fórmula do h'(x) com denominador \sqrt{\operatorname{sen} x} exige \operatorname{sen} x>0. Em pontos onde \operatorname{sen} x=0 (por exemplo x=k\pi), h(x)=0 está bem definido para a função original, mas a fórmula simplificada da derivada pode não valer (é preciso estudar a derivada por definição nesses pontos).

Passo 7

Alternativas válidas (menos úteis, mas corretas) que também satisfazem h(x)=f(g(x)):
  • Tomar g(x)=x e f(u)=\sqrt{\operatorname{sen} u}. Então f(g(x))= \sqrt{\operatorname{sen}(g(x))}=\sqrt{\operatorname{sen} x}. Essa é válida, mas em prova geralmente preferimos a decomposição em que f é a raiz e g o seno, porque facilita aplicar a regra da cadeia em dois passos simples.
  • Em geral, qualquer par f e g tais que f(g(x))=\sqrt{\operatorname{sen} x} é aceito; as duas acima são as mais naturais.

Resposta

f(u)=u^{1/2},\; g(x)=\operatorname{sen} x
f(u)=\sqrt{\operatorname{sen} u},\; g(x)=x

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