Determine a derivada das funções abaixo.
(c) f(x)=\sqrt[7]{x^{3}}+10^{1-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função abaixo:
f(x)=\sqrt[7]{x^{3}}+10^{1-x^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{(i) } f(x)=\big(x^{3}\big)^{1/7} + 10^{\,1-x^{2}}.
Não há outros dados nem restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos tratar cada parcela separadamente para derivar passo a passo. Primeiro, a parcela \sqrt[7]{x^{3}} pode ser escrita como potência:
\sqrt[7]{x^{3}} = \big(x^{3}\big)^{1/7} = x^{3/7}.
Observação rápida (útil na prova): como o índice 7 é ímpar, essa raiz está bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Agora aplicaremos a regra da potência para obter a derivada dessa parcela.

Passo 3

Regra da potência (a “aula” curta): para qualquer expoente real n, a derivada de x^{n} é dada por
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui temos n=\tfrac{3}{7}. Aplicando a regra:
\frac{d}{dx}\big(x^{3/7}\big)=\frac{3}{7}\,x^{3/7-1}.
Calcule o expoente:
3/7-1=\frac{3}{7}-\frac{7}{7}=-\frac{4}{7}.
Portanto a derivada da primeira parcela fica
\frac{d}{dx}\big(\sqrt[7]{x^{3}}\big)=\frac{3}{7}\,x^{-4/7}.
(Se preferir ver por regra da cadeia: derivando (x^{3})^{1/7} \tfrac{1}{7}(x^{3})^{1/7-1}\cdot 3x^{2}, que simplifica para o mesmo resultado \tfrac{3}{7}x^{-4/7}.)

Passo 4

Agora a segunda parcela: 10^{\,1-x^{2}}. Vamos lembrar a regra para exponencial com base constante:
Se g(x)=a^{u(x)} com a>0 constante, então podemos escrever a^{u}=e^{u\ln(a)}. Derivando e usando a cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Aqui a=10 e u(x)=1-x^{2}.

Passo 5

Calcule u'(x). Como u(x)=1-x^{2},
u'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{2})=-2x.
Agora aplique a fórmula da derivada da exponencial de base fixa:
\frac{d}{dx}\big(10^{\,1-x^{2}}\big)=10^{\,1-x^{2}}\ln(10)\cdot(-2x).
Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(10^{\,1-x^{2}}\big)=-2x\,\ln(10)\;10^{\,1-x^{2}}.

Passo 6

Finalmente, somamos as derivadas das duas parcelas (derivada da soma é soma das derivadas):
f'(x)=\frac{3}{7}\,x^{-4/7} - 2x\,\ln(10)\;10^{\,1-x^{2}}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{7}\,x^{-4/7}-2x\,\ln(10)\;10^{\,1-x^{2}}

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