Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=(2 x+13 x-2)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte exterior e a parte interior da função para aplicar a regra da cadeia. Aqui, a parte exterior é a potência 4 e a parte interior é o quociente f'(x) = 4 cdot (2x + 13x - 2)^3 cdot ddx(2x + 13x - 2) .
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . Então, aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada do quociente u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função u'(x) = 2 , sua derivada é:
v'(x) = 3
Aqui, ddx(2x + 13x - 2) = 2 cdot (3x - 2) - (2x + 1) cdot 3(3x - 2)^2 e 2(3x - 2) = 6x - 4 . Vamos derivar cada parte:
3(2x + 1) = 6x + 3
6x - 4 - 6x - 3 = -7
Aplicando na regra do quociente:
-7(3x - 2)^2
Simplificando o numerador:
Então, a derivada do quociente é:

Passo 4

Voltando à nossa derivada original, substituímos a derivada do quociente:
f'(x) = 4 cdot (2x + 13x - 2)^3 cdot (-7(3x - 2)^2)
Podemos simplificar isso:
f'(x) = -28 cdot (2x + 1)^3(3x - 2)^5

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -28 cdot (2x + 1)^3(3x - 2)^5

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