Determine a derivada das funções abaixo.
f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right)
e pede para determinar a sua derivada f'(z). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é produto de duas funções de z: 1-e^{z} e z+e^{z}.
  • Não há restrições adicionais; quer-se a derivada em termos de z.

Passo 2

Escolha do método: como f é um produto de duas funções, o método natural e mais direto é usar a regra do produto. Vou aplicar essa regra passo a passo, mostrando cada conta e explicando por quê.

Passo 3

Regra do produto (explicação didática): se u(z) e v(z) são funções diferenciáveis, a derivada do produto u(z)\,v(z) é dada por
( u v )' = u' v + u v'.
Aqui:
  • u(z) representa a primeira função do produto;
  • v(z) representa a segunda função;
  • u'(z) e v'(z) são as derivadas de u e v em relação a z.
Vou identificar u e v para o nosso caso.

Passo 4

Definindo as funções e calculando suas derivadas:
u(z)=1-e^{z},\qquad v(z)=z+e^{z}.
Agora as derivadas termo a termo (explicando: a derivada de z é 1; a derivada de e^{z} é e^{z} porque a derivada exponencial preserva a própria função):
u'(z) = -e^{z}, \qquad v'(z) = 1 + e^{z}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
Substituindo u, v, u' e v':
f'(z)=(-e^{z})\,(z+e^{z})+(1-e^{z})\,(1+e^{z}).

Passo 6

Agora simplificar passo a passo. Primeiro expandir o primeiro termo:
(-e^{z})(z+e^{z}) = -e^{z}z - e^{2z}.
O segundo termo é um produto do tipo (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} com a=1 e b=e^{z}, então
(1-e^{z})(1+e^{z}) = 1 - e^{2z}.
Somando os dois resultados:
f'(z)=\big(-e^{z}z - e^{2z}\big) + \big(1 - e^{2z}\big).
Agrupando termos semelhantes:
f'(z)=1 - e^{z}z - 2e^{2z}.

Passo 7

Breve comentário final (didático): a expressão final pode ser escrita de formas equivalentes, por exemplo
f'(z)=1 - z e^{z} - 2 e^{2z}
ou
f'(z)=1 - e^{z}\big(z+2e^{z}\big).
Ambas são a mesma derivada escrita de maneiras diferentes; a escolha depende do que for mais conveniente na prova.

Resposta

f'(z)=1 - z e^{z} - 2 e^{2z}

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