Determine a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a sua derivada
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é produto de duas funções de
: e . - Não há restrições adicionais; quer-se a derivada em termos de
.
Passo 2
Escolha do método: como
é um produto de duas funções, o método natural e mais direto é usar a regra do produto. Vou aplicar essa regra passo a passo, mostrando cada conta e explicando por quê.
Passo 3
Regra do produto (explicação didática): se
e
são funções diferenciáveis, a derivada do produto
é dada por
Aqui:
-
representa a primeira função do produto; -
representa a segunda função; -
e são as derivadas de e em relação a .
Vou identificar
e
para o nosso caso.
Passo 4
Definindo as funções e calculando suas derivadas:
Agora as derivadas termo a termo (explicando: a derivada de
é
; a derivada de
é
porque a derivada exponencial preserva a própria função):
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Agora simplificar passo a passo. Primeiro expandir o primeiro termo:
O segundo termo é um produto do tipo
com
e
, então
Somando os dois resultados:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Breve comentário final (didático): a expressão final pode ser escrita de formas equivalentes, por exemplo
ou
Ambas são a mesma derivada escrita de maneiras diferentes; a escolha depende do que for mais conveniente na prova.