Determine a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a derivada da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Quer-se encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Escolha do método: é mais prático reescrever a função como um produto para usar a regra do produto. Reescreve-se
Motivo: derivar um produto
com a regra do produto costuma ser direto; além disso as derivadas de
e de
são fórmulas simples e básicas. (Como alternativa, poderia-se usar a regra do quociente; ambas dão o mesmo resultado.)
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, somar com o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
- Regra da potência (power rule): para
com constante,
Aqui vale também para expoentes negativos. Por exemplo,
.
- Derivada de uma exponencial de base
: para ,
Explicação curta do porquê:
. Aplicando a derivada de
e a regra da cadeia obtém-se
, e como
chega-se à fórmula acima. Para
fica
.
Passo 4
Aplique a regra do produto com
e
.
Calcule as derivadas individuais:
Agora use
:
Passo 5
Simplificar a expressão. Primeiro escrevendo cada termo de forma parecida:
Fator comum:
é fator comum aos dois termos (pois
). Fatoremos:
Também é comum escrever em forma de quociente:
Passo 6
Dica rápida para a prova: escreva
como
e aplique a regra do produto; memorize
e a regra da potência para potências de
. Se preferir, pode verificar usando a regra do quociente e obterá o mesmo resultado.