Determine a derivada das funções abaixo.
y=\frac{2^{x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a derivada da função y=\dfrac{2^{x}}{x^{2}}".
Informações dadas:
  • A função é y=\dfrac{2^{x}}{x^{2}}.
  • Quer-se encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}, a derivada em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: é mais prático reescrever a função como um produto para usar a regra do produto. Reescreve-se
y = 2^{x}\,x^{-2}.
Motivo: derivar um produto f(x)g(x) com a regra do produto costuma ser direto; além disso as derivadas de 2^{x} e de x^{-2} são fórmulas simples e básicas. (Como alternativa, poderia-se usar a regra do quociente; ambas dão o mesmo resultado.)

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(u v)' = u'v + u v'.
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, somar com o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
  1. Regra da potência (power rule): para x^{n} com n constante,
\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}.
Aqui vale também para expoentes negativos. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{-2} = -2 x^{-3}.
  1. Derivada de uma exponencial de base a>0: para a^{x},
\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln a.
Explicação curta do porquê: a^{x}=e^{x\ln a}. Aplicando a derivada de e^{(\cdot)} e a regra da cadeia obtém-se e^{x\ln a}\cdot \ln a, e como e^{x\ln a}=a^{x} chega-se à fórmula acima. Para a=2 fica \dfrac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.

Passo 4

Aplique a regra do produto com u(x)=2^{x} e v(x)=x^{-2}.
Calcule as derivadas individuais:
u'(x)=\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2,
v'(x)=\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
Agora use (u v)'=u'v+u v':
y' = u'v + u v' = \big(2^{x}\ln 2\big)\,x^{-2} + 2^{x}\,(-2x^{-3}).

Passo 5

Simplificar a expressão. Primeiro escrevendo cada termo de forma parecida:
y' = 2^{x}x^{-2}\ln 2 - 2\cdot 2^{x}x^{-3}.
Fator comum: 2^{x}x^{-3} é fator comum aos dois termos (pois x^{-2}=x^{-3}\cdot x). Fatoremos:
y' = 2^{x}x^{-3}\big(x\ln 2 - 2\big).
Também é comum escrever em forma de quociente:
y' = \frac{2^{x}\big(x\ln 2 - 2\big)}{x^{3}}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: escreva y como 2^{x}x^{-2} e aplique a regra do produto; memorize \dfrac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2 e a regra da potência para potências de x. Se preferir, pode verificar usando a regra do quociente e obterá o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2^{x}\big(x\ln 2 - 2\big)}{x^{3}}

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