Determine a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é produto de duas partes:
e . - A raiz quadrada impõe normalmente a condição
; a derivada que vamos obter será válida para (na prova, lembre que em a derivada de não é finita).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: reescrever
como potência para aplicar regras de derivação de forma direta. Assim,
portanto
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação curta e direta):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Regra da potência (power rule): para
constante,
Isso vale também para
, que é o nosso caso.
- Derivada do exponencial:
Sempre que usar uma fórmula, identifique o que são
e
no problema — isso ajuda a aplicar a regra direito na hora da prova.
Passo 4
Escolhemos as parcelas do produto:
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
- Para
: a soma deriva somando as derivadas. Derivada de é ; derivada de é . Logo
- Para
: aplicar a regra da potência com :
Passo 5
Aplicando a regra do produto
, obtemos
Aqui cada termo tem um sentido: o primeiro vem de derivar a primeira parcela e manter a segunda; o segundo vem de manter a primeira e derivar a segunda.
Passo 6
Agora vamos simplificar a expressão passo a passo para obter uma forma mais limpa, própria para anotar na prova.
Escrevendo a soma com fator comum
(que é
):
Desenvolvendo os termos dentro do parêntese:
Somando:
Logo o interior fica
Substituindo de volta e lembrando
:
Passo 7
Resumo e observação final prática para a prova: a derivada pode ser deixada na forma mais factorizada ou na forma sobre
, que é limpa e rápida de comparar com alternativas em questões objetivas. Lembre-se de indicar domínio de validade: essa expressão está válida para
. Vai dar confiança na hora que aparecer algo parecido na prova — identifique o produto, use produto + potência, e simplifique como fizemos.