Determine a derivada das funções abaixo.
g(x)=\left(e^{x}+3 x^{2}\right) \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\left(e^{x}+3 x^{2}\right)\sqrt{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é produto de duas partes: e^{x}+3x^{2} e \sqrt{x}.
  • A raiz quadrada impõe normalmente a condição x\ge 0; a derivada que vamos obter será válida para x>0 (na prova, lembre que em x=0 a derivada de \sqrt{x} não é finita).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: reescrever \sqrt{x} como potência para aplicar regras de derivação de forma direta. Assim,
\sqrt{x}=x^{1/2},
portanto
g(x)=\left(e^{x}+3x^{2}\right)x^{1/2}.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação curta e direta):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u' é a derivada de u e v' a derivada de v.
  • Regra da potência (power rule): para n constante,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Isso vale também para n=\tfrac{1}{2}, que é o nosso caso.
  • Derivada do exponencial:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Sempre que usar uma fórmula, identifique o que são u e v no problema — isso ajuda a aplicar a regra direito na hora da prova.

Passo 4

Escolhemos as parcelas do produto:
u(x)=e^{x}+3x^{2},\qquad v(x)=x^{1/2}.
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
  • Para u: a soma deriva somando as derivadas. Derivada de e^{x} é e^{x}; derivada de 3x^{2} é 6x. Logo
u'(x)=e^{x}+6x.
  • Para v: aplicar a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
v'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv', obtemos
g'(x)=(e^{x}+6x)\,x^{1/2}+\left(e^{x}+3x^{2}\right)\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Aqui cada termo tem um sentido: o primeiro vem de derivar a primeira parcela e manter a segunda; o segundo vem de manter a primeira e derivar a segunda.

Passo 6

Agora vamos simplificar a expressão passo a passo para obter uma forma mais limpa, própria para anotar na prova.
Escrevendo a soma com fator comum x^{-1/2} (que é 1/\sqrt{x}):
g'(x)=x^{-1/2}\Big(x(e^{x}+6x)+\tfrac{1}{2}(e^{x}+3x^{2})\Big).
Desenvolvendo os termos dentro do parêntese:
x(e^{x}+6x)=x e^{x}+6x^{2}, \qquad \tfrac{1}{2}(e^{x}+3x^{2})=\tfrac{1}{2}e^{x}+\tfrac{3}{2}x^{2}.
Somando:
x e^{x}+\tfrac{1}{2}e^{x}=e^{x}\Big(x+\tfrac{1}{2}\Big)=\tfrac{1}{2}e^{x}(2x+1),
6x^{2}+\tfrac{3}{2}x^{2}=\tfrac{15}{2}x^{2}.
Logo o interior fica
\tfrac{1}{2}\big(e^{x}(2x+1)+15x^{2}\big).
Substituindo de volta e lembrando x^{-1/2}=1/\sqrt{x}:
g'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}\big(e^{x}(2x+1)+15x^{2}\big) =\frac{e^{x}(2x+1)+15x^{2}}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Resumo e observação final prática para a prova: a derivada pode ser deixada na forma mais factorizada ou na forma sobre \,2\sqrt{x}\,, que é limpa e rápida de comparar com alternativas em questões objetivas. Lembre-se de indicar domínio de validade: essa expressão está válida para x>0. Vai dar confiança na hora que aparecer algo parecido na prova — identifique o produto, use produto + potência, e simplifique como fizemos.

Resposta

g'(x)=\frac{e^{x}(2x+1)+15x^{2}}{2\sqrt{x}}

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