Determine a derivada das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite: \frac{\lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x)}{h}. g(x)=2 x^{3}+2 x^{2}-x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função g usando exclusivamente a definição por limite
Deve‑se usar apenas a definição \displaystyle g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
A tarefa é aplicar essa definição passo a passo até obter o valor de g'(x).
Passo 2
Primeiro passo operacional: calcular g(x+h). Para isso precisamos expandir (x+h)^{3} e (x+h)^{2}. Lembrando a fórmula do binômio de Newton:
Como h\neq0 na expressão do quociente, podemos cancelar o fator h:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=6x^{2}+6xh+2h^{2}+4x+2h-1.
Passo 7
Agora tomamos o limite quando h\to0. Usamos as propriedades básicas de limite (limite da soma é soma dos limites, e \lim_{h\to0}h=0, \lim_{h\to0}h^{2}=0):