Determine a derivada das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite: \frac{\lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x)}{h}.
g(x)=2 x^{3}+2 x^{2}-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g usando exclusivamente a definição por limite
g(x)=2x^{3}+2x^{2}-x, \qquad \text{derivada: }\;g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Informações dadas:
  • A função é g(x)=2x^{3}+2x^{2}-x.
  • Deve‑se usar apenas a definição \displaystyle g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
    A tarefa é aplicar essa definição passo a passo até obter o valor de g'(x).

Passo 2

Primeiro passo operacional: calcular g(x+h). Para isso precisamos expandir (x+h)^{3} e (x+h)^{2}. Lembrando a fórmula do binômio de Newton:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.

Passo 3

Agora substituímos essas expansões em g(x+h):
g(x+h)=2\bigl((x+h)^{3}\bigr)+2\bigl((x+h)^{2}\bigr)-(x+h).

Passo 4

Usando as expansões obtidas:
g(x+h)=2\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr)+2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-(x+h).
Multiplicando os fatores:
g(x+h)=2x^{3}+6x^{2}h+6xh^{2}+2h^{3}+2x^{2}+4xh+2h^{2}-x-h.

Passo 5

Agora vamos formar o numerador da definição: g(x+h)-g(x). Lembrando que
g(x)=2x^{3}+2x^{2}-x.
Subtraindo g(x) de g(x+h):
\begin{aligned} g(x+h)-g(x) &=\bigl(2x^{3}+6x^{2}h+6xh^{2}+2h^{3}+2x^{2}+4xh+2h^{2}-x-h\bigr)\\\ &\quad -\bigl(2x^{3}+2x^{2}-x\bigr). \end{aligned}
Agora cancelam-se os termos iguais 2x^{3}, 2x^{2} e -x, ficando:
g(x+h)-g(x)=6x^{2}h+6xh^{2}+2h^{3}+4xh+2h^{2}-h.

Passo 6

Colocamos o numerador sobre h conforme a definição e fatoramos h quando possível:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{6x^{2}h+6xh^{2}+2h^{3}+4xh+2h^{2}-h}{h}.
Fatorando h do numerador:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{h\bigl(6x^{2}+6xh+2h^{2}+4x+2h-1\bigr)}{h}.
Como h\neq0 na expressão do quociente, podemos cancelar o fator h:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=6x^{2}+6xh+2h^{2}+4x+2h-1.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando h\to0. Usamos as propriedades básicas de limite (limite da soma é soma dos limites, e \lim_{h\to0}h=0, \lim_{h\to0}h^{2}=0):
\begin{aligned} g'(x)&=\lim_{h\to0}\bigl(6x^{2}+6xh+2h^{2}+4x+2h-1\bigr)\\\ &=6x^{2}+6x\cdot\underbrace{\lim_{h\to0}h}_{0}+2\underbrace{\lim_{h\to0}h^{2}}_{0}+4x+2\underbrace{\lim_{h\to0}h}_{0}-1. \end{aligned}
Portanto os termos que contêm h ou h^{2} desaparecem e sobra:
g'(x)=6x^{2}+4x-1.

Resposta

g'(x)=6x^{2}+4x-1

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