Calcule a integral dupla abaixo, utilizando a região retangular definida:
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2}\left(4 x^{3} y+2\right) d y d x
a) () 2
b) () 5
c) () 7
d) ( ) 9
e) ( ) 12

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left(4x^{3}y+2\right)\,dy\,dx.
As informações relevantes são:
  • A função integranda é \,f(x,y)=4x^{3}y+2.
  • A integração é feita primeiro em y no intervalo [1,2] e depois em x no intervalo [0,1].
  • O pedido é calcular o valor numérico dessa integral dupla e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Explicando a estratégia: quando a integral está escrita como \displaystyle\int_{0}^{1}\left(\int_{1}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx, calculamos primeiro a integral interna em y tratando x como constante. Relembre a regra básica de integração em y: se a é constante em relação a y, então
\int a\,dy = a\,y + C, \qquad \int a\,y\,dy = a\frac{y^{2}}{2}+C.
Aqui 4x^{3} é constante quando integramos em y, porque depende só de x. Então a primitiva em y de \,4x^{3}y+2\, é
\int\left(4x^{3}y+2\right)\,dy =4x^{3}\cdot\frac{y^{2}}{2}+2y =2x^{3}y^{2}+2y.

Passo 3

Agora avaliamos a primitiva entre y=1 e y=2:
\left[2x^{3}y^{2}+2y\right]_{y=1}^{y=2} = \bigl(2x^{3}\cdot 2^{2}+2\cdot 2\bigr)-\bigl(2x^{3}\cdot 1^{2}+2\cdot 1\bigr).
Calcule cada parte:
2x^{3}\cdot 2^{2}=2x^{3}\cdot 4=8x^{3},\qquad 2\cdot 2=4,
2x^{3}\cdot 1^{2}=2x^{3},\qquad 2\cdot 1=2.
Subtraindo:
(8x^{3}+4)-(2x^{3}+2)=6x^{3}+2.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples em x
\int_{0}^{1}\left(6x^{3}+2\right)\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x. Relembre: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1, e \displaystyle\int c\,dx=cx+C para constante c.
Aplicando isso:
\int\left(6x^{3}+2\right)\,dx =6\cdot\frac{x^{4}}{4}+2x =\frac{6}{4}x^{4}+2x =\frac{3}{2}x^{4}+2x.
Agora avaliamos de x=0 a x=1:
\left[\frac{3}{2}x^{4}+2x\right]_{0}^{1} =\left(\frac{3}{2}\cdot 1^{4}+2\cdot 1\right)-\left(\frac{3}{2}\cdot 0^{4}+2\cdot 0\right) =\frac{3}{2}+2.
Somando:
\frac{3}{2}+2=\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=\frac{7}{2}.

Passo 5

Interpretação final: o valor exato da integral dupla é \dfrac{7}{2}. Observação prática: nenhuma das alternativas fornecidas ( 2,5,7,9,12) coincide com \dfrac{7}{2}, portanto parece haver um erro nas alternativas do enunciado; o resultado correto calculado é \dfrac{7}{2}.

Resposta

\dfrac{7}{2}

Exercícios relacionados