Calcule a integral dupla abaixo, utilizando a região retangular definida:
a) () 2
b) () 5
c) () 7
d) ( ) 9
e) ( ) 12
b) () 5
c) () 7
d) ( ) 9
e) ( ) 12
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral dupla
As informações relevantes são:
- A função integranda é
. - A integração é feita primeiro em
no intervalo e depois em no intervalo . - O pedido é calcular o valor numérico dessa integral dupla e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Explicando a estratégia: quando a integral está escrita como
, calculamos primeiro a integral interna em
tratando
como constante. Relembre a regra básica de integração em
: se
é constante em relação a
, então
Aqui
é constante quando integramos em
, porque depende só de
. Então a primitiva em
de
é
Passo 3
Agora avaliamos a primitiva entre
e
:
Calcule cada parte:
Subtraindo:
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples em
Passo 4
Agora integramos em
. Relembre:
para
, e
para constante
.
Aplicando isso:
Aplicando isso:
Agora avaliamos de
a
:
Somando:
Passo 5
Interpretação final: o valor exato da integral dupla é
. Observação prática: nenhuma das alternativas fornecidas (
) coincide com
, portanto parece haver um erro nas alternativas do enunciado; o resultado correto calculado é
.