Determine a derivada das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite: \frac{\lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x)}{h}.
f(x)=-x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede para determinar a derivada da função f usando exclusivamente a definição de limite f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • A função dada é f(x)=-x^{2}.
Explicando a definição (cada símbolo):
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x: a taxa instantânea de variação de f em x.
  • h é o incremento na variável independente; fazemos h\to 0 para ver a variação “infinitesimal”.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o coeficiente angular da reta secante entre os pontos x e x+h; o limite quando h\to 0 dá a inclinação da tangente.

Passo 2

Calcular f(x+h). Substitui x+h na expressão de f:
f(x+h)=-(x+h)^{2}.
Expandindo o quadrado:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
portanto
f(x+h)=-(x^{2}+2xh+h^{2})=-x^{2}-2xh-h^{2}.

Passo 3

Formar o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Primeiro calcule a diferença no numerador:
f(x+h)-f(x)=\bigl(-x^{2}-2xh-h^{2}\bigr)-\bigl(-x^{2}\bigr).
Os termos -x^{2} cancelam:
f(x+h)-f(x)=-2xh-h^{2}.
Agora divida por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-2xh-h^{2}}{h}.
Fatore h no numerador para simplificar:
\frac{-2xh-h^{2}}{h}=\frac{h(-2x-h)}{h}=-2x-h,
onde a divisão por h é válida porque, na expressão do quociente, considera-se h\neq 0 (só ao final fazemos h\to 0).

Passo 4

Aplicar o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(-2x-h\bigr).
Usando propriedades básicas de limite (o limite de soma é a soma dos limites; o limite de uma constante é a constante; \lim_{h\to 0}h=0):
f'(x)=-2x+\lim_{h\to 0}(-h)=-2x-0=-2x.
Explicando de forma intuitiva: ao aproximar h de zero, o termo que depende de h some, ficando apenas -2x, que é a inclinação da reta tangente em x.

Passo 5

Resumo do raciocínio praticável na prova (passos curtos que dá para reproduzir rapidamente):
  1. Calcule f(x+h) substituindo x+h.
  2. Faça f(x+h)-f(x) e simplifique, tentando fatorar h.
  3. Divida por h e cancele h.
  4. Tome o limite quando h\to 0; os termos com h desaparecem.

Resposta

f'(x)=-2x

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