Determine a derivada das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede para determinar a derivada da função
usando exclusivamente a definição de limite - A função dada é
.
Explicando a definição (cada símbolo):
-
é a derivada de no ponto : a taxa instantânea de variação de em . -
é o incremento na variável independente; fazemos para ver a variação “infinitesimal”. - A expressão
é o coeficiente angular da reta secante entre os pontos e ; o limite quando dá a inclinação da tangente.
Passo 2
Calcular
. Substitui
na expressão de
:
Expandindo o quadrado:
portanto
Passo 3
Formar o quociente
. Primeiro calcule a diferença no numerador:
Os termos
cancelam:
Agora divida por
:
Fatore
no numerador para simplificar:
onde a divisão por
é válida porque, na expressão do quociente, considera-se
(só ao final fazemos
).
Passo 4
Aplicar o limite quando
:
Usando propriedades básicas de limite (o limite de soma é a soma dos limites; o limite de uma constante é a constante;
):
Explicando de forma intuitiva: ao aproximar
de zero, o termo que depende de
some, ficando apenas
, que é a inclinação da reta tangente em
.
Passo 5
Resumo do raciocínio praticável na prova (passos curtos que dá para reproduzir rapidamente):
- Calcule
substituindo . - Faça
e simplifique, tentando fatorar . - Divida por
e cancele . - Tome o limite quando
; os termos com desaparecem.