Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=\operatorname{sen}\left[\ln \left(x^{4}-7 x^{2}\right)\right]+\operatorname{sec} x+\cos 3 x-\cos \sqrt{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função composta
y=\operatorname{sen}\!\left[\ln\!\left(x^{4}-7x^{2}\right)\right]+\operatorname{sec} x+\cos 3x-\cos\sqrt{x^{3}+1}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{1) }y \text{ é soma (e subtração) de quatro termos: }\\\ &\quad y_1=\operatorname{sen}\!\big(\ln(x^{4}-7x^{2})\big),\\\ &\quad y_2=\operatorname{sec} x,\\\ &\quad y_3=\cos 3x,\\\ &\quad y_4=-\cos\sqrt{x^{3}+1}.\\\ &\text{2) Precisamos aplicar regras de derivação: derivada soma, regra da cadeia, e derivadas}\\\ &\quad\text{básicas de } \sin,\cos,\operatorname{sec},\ln,\text{ e potências.} \end{aligned}éçãçãáê

Passo 2

Regra geral que vamos usar primeiro: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}y_1+\frac{d}{dx}y_2+\frac{d}{dx}y_3+\frac{d}{dx}y_4.
Então vamos derivar termo a termo. Antes de cada termo vou explicar a regra usada de forma didática.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \displaystyle y_1=\operatorname{sen}\!\big(\ln(x^{4}-7x^{2})\big).
Explicação das regras aplicadas:
  • Regra da cadeia (ideia): se temos f(g(x)), então \dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x). Primeiro derivamos a função externa mantido o interior, depois multiplicamos pela derivada do interior.
  • Derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u).
  • Derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}.
  • Derivada de x^{4}-7x^{2} é 4x^{3}-14x.
Aplicando passo a passo:
  1. Tome u(x)=\ln(x^{4}-7x^{2}). Então \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u)=\cos(u)\cdot u'(x).
  2. Agora u'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln(x^{4}-7x^{2})=\dfrac{1}{x^{4}-7x^{2}}\cdot(4x^{3}-14x).
Portanto a derivada do primeiro termo é
\frac{d}{dx}y_1=\cos\!\big(\ln(x^{4}-7x^{2})\big)\cdot\frac{4x^{3}-14x}{x^{4}-7x^{2}}.
Observação: podemos fatorar 4x^{3}-14x=2x(2x^{2}-7) se quiser simplificar, mas não é obrigatório.

Passo 4

Derivada do segundo termo \displaystyle y_2=\operatorname{sec} x.
Regra e explicação:
  • Derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Essa é uma derivada padrão a decorar (pode ser obtida a partir de definição \operatorname{sec} x=1/\cos x e derivando por quociente ou produto).
Logo
\frac{d}{dx}y_2=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \displaystyle y_3=\cos 3x.
Regra e explicação:
  • Derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u).
  • Aqui u(x)=3x e u'(x)=3.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}y_3=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).

Passo 6

Derivada do quarto termo \displaystyle y_4=-\cos\sqrt{x^{3}+1}.
Primeiro reescrever o interior de forma mais conveniente:
\sqrt{x^{3}+1}=(x^{3}+1)^{1/2}.
Regra e explicação:
  • Derivada de -\cos(v) é -(-\sin(v)\cdot v')=+\sin(v)\cdot v' (porque a derivada de \cos traz um sinal negativo).
  • Precisamos calcular v'(x) com v(x)=(x^{3}+1)^{1/2}.
  • Usamos a regra da cadeia com potência: \dfrac{d}{dx}(w(x))^{1/2}=\tfrac{1}{2}(w(x))^{-1/2}\cdot w'(x).
  • Aqui w(x)=x^{3}+1 e w'(x)=3x^{2}.
Então
v'(x)=\frac{1}{2}(x^{3}+1)^{-1/2}\cdot 3x^{2}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}.
Portanto a derivada do quarto termo é
\frac{d}{dx}y_4=\sin\!\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)\cdot\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}.

Passo 7

Agora somamos todas as derivadas obtidas (regra da soma de derivadas). Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
\begin{aligned} \frac{dy}{dx}={}&\cos\!\big(\ln(x^{4}-7x^{2})\big)\cdot\frac{4x^{3}-14x}{x^{4}-7x^{2}}\\\ &{}+\operatorname{sec} x\tan x\\\ &{}-3\sin(3x)\\\ &{}+\sin\!\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)\cdot\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}. \end{aligned}

Passo 8

Pequenas observações finais para a prova (dicas práticas):
  • Cheque domínios ao usar \ln(x^{4}-7x^{2}): é preciso x^{4}-7x^{2}>0 para que o logaritmo natural esteja definido; na prova podem pedir restrições do domínio.
  • Ao simplificar, você pode fatorar termos (por exemplo 4x^{3}-14x=2x(2x^{2}-7)) para facilitar cancelamentos ou avaliação numérica rápida.
  • Mantenha sempre a ordem: derive a função externa avaliando no interno e multiplique pela derivada do interno (regra da cadeia). Isso evita erros de sinais e fatores.

Resposta

\cos\!\big(\ln(x^{4}-7x^{2})\big)\cdot\frac{4x^{3}-14x}{x^{4}-7x^{2}}+\operatorname{sec} x\tan x-3\sin(3x)+\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\sin\!\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)

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