Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função composta
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Regra geral que vamos usar primeiro: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
Então vamos derivar termo a termo. Antes de cada termo vou explicar a regra usada de forma didática.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Explicação das regras aplicadas:
- Regra da cadeia (ideia): se temos
, então . Primeiro derivamos a função externa mantido o interior, depois multiplicamos pela derivada do interior. - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
Aplicando passo a passo:
- Tome
. Então . - Agora
.
Portanto a derivada do primeiro termo é
Observação: podemos fatorar
se quiser simplificar, mas não é obrigatório.
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Regra e explicação:
- Derivada de
é . Essa é uma derivada padrão a decorar (pode ser obtida a partir de definição e derivando por quociente ou produto).
Logo
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Regra e explicação:
- Derivada de
em relação a é . - Aqui
e .
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Derivada do quarto termo
Primeiro reescrever o interior de forma mais conveniente:
Regra e explicação:
- Derivada de
é (porque a derivada de traz um sinal negativo). - Precisamos calcular
com . - Usamos a regra da cadeia com potência:
. - Aqui
e .
Então
Portanto a derivada do quarto termo é
Passo 7
Agora somamos todas as derivadas obtidas (regra da soma de derivadas). Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
Passo 8
Pequenas observações finais para a prova (dicas práticas):
- Cheque domínios ao usar
: é preciso para que o logaritmo natural esteja definido; na prova podem pedir restrições do domínio. - Ao simplificar, você pode fatorar termos (por exemplo
) para facilitar cancelamentos ou avaliação numérica rápida. - Mantenha sempre a ordem: derive a função externa avaliando no interno e multiplique pela derivada do interno (regra da cadeia). Isso evita erros de sinais e fatores.