Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas que vamos usar (fique tranquilo, vou explicar tudo depois):
As perguntas são: calcular
(a derivada de
) e apresentar o resultado final. Não vou resolver nada ainda aqui — só deixei explícito o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Derivando o primeiro termo
: aplicamos a regra do produto. Antes, a regra do produto diz que, para duas funções
e
,
Aqui tomamos
e
. Precisamos de
e
.
- Derivada de
é . (Fórmula básica: .) - Para
usamos a regra da cadeia: se então . Aqui e . Logo
Agora aplicamos produto:
Passo 3
Agora vamos ao segundo termo
. Vamos usar a regra do quociente: para
,
Aqui definimos
Precisamos calcular
e
.
Passo 4
Derivada de
:
- A fórmula para derivada da cossecante é
quando depende de . Em outras palavras, . - Aqui
. A derivada de é .
Aplicando a cadeia,
Ou seja,
Passo 5
Derivada de
:
- A fórmula básica é
. - Aqui
e .
Logo
Passo 6
Agora aplicamos a regra do quociente com os
obtidos:
Substituindo:
Portanto o numerador é
Isto é
O denominador é
Passo 7
Vamos simplificar um pouco a expressão do quociente. Fatorando
do numerador:
Dividindo por
,
Agora usamos identidades trigonométricas:
Então a derivada do quociente fica
Passo 8
Lembrando que em
esse quociente está sendo subtraído, ou seja
então a derivada total é
Substituindo os resultados dos Passos 2 e 7:
Passo 9
Podemos distribuir o sinal negativo no último termo para deixar num formato talvez mais direto: