Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=\cos 5 x \cdot \operatorname{sen} x-\frac{\operatorname{cossec} \sqrt{x}}{\operatorname{cotg} x^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\cos 5x \cdot \operatorname{sen} x-\frac{\operatorname{cossec} \sqrt{x}}{\operatorname{cotg} x^{3}}.
Informações dadas que vamos usar (fique tranquilo, vou explicar tudo depois):
y=\cos(5x)\cdot \sin(x) - \frac{\csc(\sqrt{x})}{\cot(x^{3})}.
As perguntas são: calcular y' (a derivada de y) e apresentar o resultado final. Não vou resolver nada ainda aqui — só deixei explícito o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \cos(5x)\cdot\sin x: aplicamos a regra do produto. Antes, a regra do produto diz que, para duas funções f(x) e g(x),
(fg)' = f' g + f g'.
Aqui tomamos f(x)=\cos(5x) e g(x)=\sin x. Precisamos de f' e g'.
  • Derivada de g(x)=\sin x é g'(x)=\cos x. (Fórmula básica: (\sin x)'=\cos x.)
  • Para f(x)=\cos(5x) usamos a regra da cadeia: se h(x)=\cos(u(x)) então h'(x)=-\sin(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=5x e u'(x)=5. Logo
f'(x) = -\sin(5x)\cdot 5 = -5\sin(5x).
Agora aplicamos produto:
\frac{d}{dx}\big(\cos(5x)\sin x\big)=f' g + f g' = -5\sin(5x)\sin x + \cos(5x)\cos x.

Passo 3

Agora vamos ao segundo termo \dfrac{\csc(\sqrt{x})}{\cot(x^{3})}. Vamos usar a regra do quociente: para h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui definimos
u(x)=\csc(\sqrt{x}),\qquad v(x)=\cot(x^{3}).
Precisamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 4

Derivada de u(x)=\csc(\sqrt{x}):
  • A fórmula para derivada da cossecante é (\csc t)' = -\csc t \cot t\cdot t' quando t depende de x. Em outras palavras, \dfrac{d}{dt}\csc t = -\csc t\cot t.
  • Aqui t(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. A derivada de t é t'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Aplicando a cadeia,
u'(x) = -\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Ou seja,
u'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x}).

Passo 5

Derivada de v(x)=\cot(x^{3}):
  • A fórmula básica é (\cot t)' = -\csc^{2} t\cdot t'.
  • Aqui t(x)=x^{3} e t'(x)=3x^{2}.
Logo
v'(x) = -\csc^{2}(x^{3})\cdot 3x^{2} = -3x^{2}\csc^{2}(x^{3}).

Passo 6

Agora aplicamos a regra do quociente com os u,u',v,v' obtidos:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\csc(\sqrt{x})}{\cot(x^{3})}\right) =\frac{u'v - u v'}{v^{2}}.
Substituindo:
u'v = -\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})\cdot \cot(x^{3}),
u v' = \csc(\sqrt{x})\cdot\big(-3x^{2}\csc^{2}(x^{3})\big) = -3x^{2}\csc(\sqrt{x})\csc^{2}(x^{3}).
Portanto o numerador é
u'v - u v' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})\cot(x^{3}) - \big(-3x^{2}\csc(\sqrt{x})\csc^{2}(x^{3})\big).
Isto é
u'v - u v' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})\cot(x^{3}) + 3x^{2}\csc(\sqrt{x})\csc^{2}(x^{3}).
O denominador é
v^{2}=\cot^{2}(x^{3}).

Passo 7

Vamos simplificar um pouco a expressão do quociente. Fatorando \csc(\sqrt{x}) do numerador:
u'v - u v' = \csc(\sqrt{x})\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cot(\sqrt{x})\cot(x^{3}) + 3x^{2}\csc^{2}(x^{3})\right).
Dividindo por \cot^{2}(x^{3}),
\frac{u'v - u v'}{v^{2}} = \csc(\sqrt{x})\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cot(\sqrt{x})\frac{\cot(x^{3})}{\cot^{2}(x^{3})} + 3x^{2}\frac{\csc^{2}(x^{3})}{\cot^{2}(x^{3})}\right).
Agora usamos identidades trigonométricas:
\frac{\cot(x^{3})}{\cot^{2}(x^{3})}=\frac{1}{\cot(x^{3})}=\tan(x^{3}),
\frac{\csc^{2}(x^{3})}{\cot^{2}(x^{3})}=\frac{1/\sin^{2}(x^{3})}{\cos^{2}(x^{3})/\sin^{2}(x^{3})}=\frac{1}{\cos^{2}(x^{3})}=\operatorname{sec}^{2}(x^{3}).
Então a derivada do quociente fica
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\csc(\sqrt{x})}{\cot(x^{3})}\right) = \csc(\sqrt{x})\!\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cot(\sqrt{x})\tan(x^{3}) + 3x^{2}\operatorname{sec}^{2}(x^{3})\right).

Passo 8

Lembrando que em y esse quociente está sendo subtraído, ou seja
y = \cos(5x)\sin x - \frac{\csc(\sqrt{x})}{\cot(x^{3})},
então a derivada total é
y' = \frac{d}{dx}\big(\cos(5x)\sin x\big) \;-\; \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\csc(\sqrt{x})}{\cot(x^{3})}\right).
Substituindo os resultados dos Passos 2 e 7:
y' = -5\sin(5x)\sin x + \cos(5x)\cos x -\csc(\sqrt{x})\!\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cot(\sqrt{x})\tan(x^{3}) + 3x^{2}\operatorname{sec}^{2}(x^{3})\right).

Passo 9

Podemos distribuir o sinal negativo no último termo para deixar num formato talvez mais direto:
y' = -5\sin(5x)\sin x + \cos(5x)\cos x +\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})\tan(x^{3}) - 3x^{2}\csc(\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}(x^{3}).

Resposta

y'=-5\sin(5x)\sin x+\cos(5x)\cos x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})\tan(x^{3})-3x^{2}\csc(\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}(x^{3})

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