Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos a derivada
.
Informações relevantes: cada termo é uma função composta (por exemplo, aplicada a
,
aplicada a
, etc.). Vamos derivar termo a termo e usar regra da cadeia quando necessário.
Informações relevantes: cada termo é uma função composta (por exemplo,
Passo 2
Derivaremos o primeiro termo
com
. Regra que usamos (regra da cadeia + derivada de
):
- Fórmula: se
, então
Aqui
é a função interna (no nosso caso
) e
é sua derivada. Agora calculamos
usando a regra do quociente.
Passo 3
Derivada de
(regra do quociente). Regra do quociente: se
então
No nosso caso
e
. Assim
e
. Calculando:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da derivada da
:
Podemos deixar esse termo nessa forma ou simplificá-lo algebricamente. Para ver a simplificação, observe o radicando:
Calculando o numerador:
Logo
e o radical fica
. Portanto o primeiro termo pode ser escrito como
Essa é uma forma válida e mostra claramente a estrutura; uma simplificação algébrica adicional envolve valores absolutos porque
, mas para a prova normalmente é aceitável manter o radical agrupado.
Passo 5
Agora derivamos o segundo termo
. Lembrete da regra: se
então
Temos um sinal negativo na frente, portanto a derivada de
é
Explanação: a derivada de
é
; o menos do enunciado zera esse sinal negativo.
Passo 6
Derivada do terceiro termo
. Escrevemos como potência e aplicamos regra da cadeia:
Regra: se
então
. Aqui
,
,
. Assim
Passo 7
Derivada do quarto termo
. Usamos a regra da derivada do logaritmo e a cadeia: se
então
. Aqui
e
. Logo
Passo 8
Agora somamos todos os termos derivados. Reunindo:
- primeiro termo:
, - segundo termo:
, - terceiro termo:
, - quarto termo:
.
Somando o segundo e o terceiro termos, que têm o mesmo denominador:
Passo 9
Escrevendo a derivada final combinada:
Essa expressão está correta e explícita; se desejar, pode-se reescrever o primeiro termo colocando o radical em evidência como feito no Passo 4: