Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=\operatorname{arcsen} \frac{x+1}{x-1}-\operatorname{arccos} x+\sqrt{1-x^{2}}+\ln (\cos x)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{arcsen}\frac{x+1}{x-1}-\operatorname{arccos} x+\sqrt{1-x^{2}}+\ln(\cos x)
e pede que calculemos a derivada y'.
Informações relevantes: cada termo é uma função composta (por exemplo, \operatorname{arcsen} aplicada a \frac{x+1}{x-1}, \ln aplicada a \cos x, etc.). Vamos derivar termo a termo e usar regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Derivaremos o primeiro termo \operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr) com u(x)=\dfrac{x+1}{x-1}. Regra que usamos (regra da cadeia + derivada de \operatorname{arcsen}):
  • Fórmula: se y=\operatorname{arcsen}(u(x)), então
y'=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
Aqui u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=\dfrac{x+1}{x-1}) e u'(x) é sua derivada. Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente.

Passo 3

Derivada de u(x)=\dfrac{x+1}{x-1} (regra do quociente). Regra do quociente: se u=\dfrac{v}{w} então
u'=\frac{v'w-vw'}{w^{2}}.
No nosso caso v(x)=x+1 e w(x)=x-1. Assim v'(x)=1 e w'(x)=1. Calculando:
u'(x)=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada da \operatorname{arcsen}:
\left(\operatorname{arcsen}\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}} =\frac{-2/(x-1)^{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{2}}}.
Podemos deixar esse termo nessa forma ou simplificá-lo algebricamente. Para ver a simplificação, observe o radicando:
1-\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}=\frac{(x-1)^{2}-(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}}.
Calculando o numerador:
(x-1)^{2}-(x+1)^{2}=(x^{2}-2x+1)-(x^{2}+2x+1)=-4x.
Logo
1-\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}=\frac{-4x}{(x-1)^{2}},
e o radical fica \sqrt{\dfrac{-4x}{(x-1)^{2}}}. Portanto o primeiro termo pode ser escrito como
\frac{-2/(x-1)^{2}}{\sqrt{-4x/(x-1)^{2}}}.
Essa é uma forma válida e mostra claramente a estrutura; uma simplificação algébrica adicional envolve valores absolutos porque \sqrt{(x-1)^{2}}=|x-1|, mas para a prova normalmente é aceitável manter o radical agrupado.

Passo 5

Agora derivamos o segundo termo -\operatorname{arccos} x. Lembrete da regra: se y=\operatorname{arccos} x então
y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Temos um sinal negativo na frente, portanto a derivada de -\operatorname{arccos} x é
-\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Explanação: a derivada de \operatorname{arccos} x é -1/\sqrt{1-x^{2}}; o menos do enunciado zera esse sinal negativo.

Passo 6

Derivada do terceiro termo \sqrt{1-x^{2}}. Escrevemos como potência e aplicamos regra da cadeia:
\sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{1/2}.
Regra: se y=(g(x))^{n} então y'=n\,(g(x))^{n-1}\,g'(x). Aqui g(x)=1-x^{2}, n=1/2, g'(x)=-2x. Assim
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}}=\frac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 7

Derivada do quarto termo \ln(\cos x). Usamos a regra da derivada do logaritmo e a cadeia: se y=\ln(u(x)) então y'=u'(x)/u(x). Aqui u(x)=\cos x e u'(x)=-\sin x. Logo
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.

Passo 8

Agora somamos todos os termos derivados. Reunindo:
  • primeiro termo: \dfrac{-2/(x-1)^{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{2}}},
  • segundo termo: \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
  • terceiro termo: -\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},
  • quarto termo: -\tan x.
Somando o segundo e o terceiro termos, que têm o mesmo denominador:
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 9

Escrevendo a derivada final combinada:
y'=\frac{-2/(x-1)^{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{2}}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\tan x.
Essa expressão está correta e explícita; se desejar, pode-se reescrever o primeiro termo colocando o radical em evidência como feito no Passo 4:
\frac{-2/(x-1)^{2}}{\sqrt{-4x/(x-1)^{2}}}.

Resposta

y'=\frac{-2/(x-1)^{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{2}}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\tan x

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