Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vou lembrar, de forma clara e com exemplos, as regras que vamos usar (cada fórmula mostrada com o significado das variáveis):
- Regra da cadeia (essencial para composições): se
, então
Aqui
é a função interna e
é a externa.
Exemplo rápido: se
, então
e
, logo
- Derivada de
com constante:
Aqui
é a constante proveniente da derivada da função exponencial com base
.
Exemplo:
.
- Derivada de
:
- Derivada de
(quando ):
Exemplo:
.
- Derivadas trigonométricas e suas composições:
- Derivada de raiz quadrada (ou
):
Com essas fórmulas na mochila, vamos aplicá-las termo a termo.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Aplicamos a regra da derivada de
com
e
. Primeiro derivada externa:
. Depois multiplicamos por
, que é
.
Portanto
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Aqui é um produto
com
Usamos a regra do produto:
Primeiro
: aplicamos a regra da derivada do logaritmo e depois a derivada de
.
Podemos simplificar essa expressão trigonométrica: usando
e
,
Aplicando a identidade
, obtemos
No nosso caso
, então
(ambas as formas
e
são equivalentes)
Agora
: usar derivada de
com
:
Juntando em regra do produto:
Substituindo
(ou
) temos a forma final do derivado deste termo.
Lembrando que no
original esse termo aparece com sinal negativo; então a contribuição para
será o negativo de
.]
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Aqui podemos simplificar antes de derivar:
porque logaritmo natural e exponencial são funções inversas. Assim
No
original esse termo aparece com sinal negativo, portanto contribui com
para
.
Passo 6
Derivada do quarto termo
.
Aplicamos derivada da exponencial composta: com constante multiplicativa 2,
Simplificando o
:
Passo 7
Agora somamos todas as contribuições (respeitando os sinais do enunciado). Lembrando:
- derivada de
é , - derivada de
é e aparece com sinal negativo na função original, - derivada de
deu e aparece com sinal negativo, - derivada de
é .
Portanto a derivada total
é
Opcionalmente, para a parte trigonométrica pode-se substituir
por
, obtendo uma forma alternativa equivalente.]