Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=2^{\cos x}-(\ln (\operatorname{tg} 3 x)) \cdot\left(e^{3 x^{2}-5 x-7}\right)-\ln e^{2 x}+2 e^{\sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
y=2^{\cos x}-(\ln (\operatorname{tg} 3 x)) \cdot\left(e^{3 x^{2}-5 x-7}\right)-\ln e^{2 x}+2 e^{\sqrt{x}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{1) } \;y \text{ é composta por quatro termos: } \\\ &\qquad T_1=2^{\cos x},\\\ &\qquad T_2=(\ln(\operatorname{tg}3x))\cdot e^{3x^{2}-5x-7},\\\ &\qquad T_3=\ln e^{2x},\\\ &\qquad T_4=2e^{\sqrt{x}}.\\\ &\text{2) O sinal menos antes de }T_2\text{ e antes de }T_3 \text{ deve ser considerado na derivada.}\\\ &\text{3) Precisamos aplicar regras de derivação: derivada de potência com base fixa, regra do produto, regra da cadeia,}\\\ &\qquad\text{derivada de logaritmo natural e derivadas de funções trigonométricas e exponenciais.} \end{aligned}éçãêçõé

Passo 2

Vou lembrar, de forma clara e com exemplos, as regras que vamos usar (cada fórmula mostrada com o significado das variáveis):
  1. Regra da cadeia (essencial para composições): se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui g(x) é a função interna e f é a externa.
Exemplo rápido: se F(x)=\sin(x^2), então f(u)=\sin u e g(x)=x^2, logo
F'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.
  1. Derivada de a^{u(x)} com a>0 constante:
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x).
Aqui \ln a é a constante proveniente da derivada da função exponencial com base a.
Exemplo: \frac{d}{dx}3^{x^2}=3^{x^2}\ln 3\cdot 2x.
  1. Derivada de e^{u(x)}:
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  1. Derivada de \ln(u(x)) (quando u(x)>0):
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Exemplo: \frac{d}{dx}\ln(\tan 3x)=\frac{(\tan 3x)'}{\tan 3x}.
  1. Derivadas trigonométricas e suas composições:
\frac{d}{dx}\tan v(x)=\operatorname{sec}^2(v(x))\cdot v'(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  1. Derivada de raiz quadrada (ou x^{1/2}):
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad (x>0).
Com essas fórmulas na mochila, vamos aplicá-las termo a termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \;T_1=2^{\cos x}.
Aplicamos a regra da derivada de a^{u(x)} com a=2 e u(x)=\cos x. Primeiro derivada externa: 2^{\cos x}\ln 2. Depois multiplicamos por u'(x), que é (\cos x)'=-\sin x.
Portanto
\frac{d}{dx}2^{\cos x}=2^{\cos x}\ln 2\cdot(-\sin x)=-\sin x\ln 2\;2^{\cos x}.

Passo 4

Derivada do segundo termo \;T_2=(\ln(\operatorname{tg}3x))\cdot e^{3x^{2}-5x-7}.
Aqui é um produto u(x)\cdot v(x) com
u(x)=\ln(\operatorname{tg}3x),\qquad v(x)=e^{3x^{2}-5x-7}.
Usamos a regra do produto:
(T_2)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Primeiro u'(x): aplicamos a regra da derivada do logaritmo e depois a derivada de \operatorname{tg}3x.
u'(x)=\frac{(\operatorname{tg}3x)'}{\operatorname{tg}3x} =\frac{\operatorname{sec}^2(3x)\cdot 3}{\tan(3x)} =3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)}.
Podemos simplificar essa expressão trigonométrica: usando \operatorname{sec}^2 t=1/\cos^2 t e \tan t=\sin t/\cos t,
\frac{\operatorname{sec}^2 t}{\tan t}=\frac{1/\cos^2 t}{\sin t/\cos t}=\frac{1}{\sin t\cos t}.
Aplicando a identidade \sin(2t)=2\sin t\cos t, obtemos
\frac{1}{\sin t\cos t}=\frac{2}{\sin(2t)}.
No nosso caso t=3x, então
u'(x)=3\cdot\frac{1}{\sin(3x)\cos(3x)}=3\cdot\frac{2}{\sin(6x)}=\frac{6}{\sin(6x)}.
(ambas as formas 3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)} e \dfrac{6}{\sin(6x)} são equivalentes)
Agora v'(x): usar derivada de e^{u(x)} com u(x)=3x^2-5x-7:
v'(x)=e^{3x^{2}-5x-7}\cdot (6x-5).
Juntando em regra do produto:
\begin{aligned} (T_2)'&=u'(x)\,e^{3x^{2}-5x-7}+\ln(\tan 3x)\cdot e^{3x^{2}-5x-7}(6x-5)\\[4pt] &=e^{3x^{2}-5x-7}\left(u'(x)+\ln(\tan 3x)\,(6x-5)\right). \end{aligned}
Substituindo u'(x)=3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)} (ou 6/\sin(6x)) temos a forma final do derivado deste termo.
Lembrando que no y original esse termo aparece com sinal negativo; então a contribuição para y' será o negativo de (T_2)'.]

Passo 5

Derivada do terceiro termo \;T_3=\ln e^{2x}.
Aqui podemos simplificar antes de derivar: \ln e^{2x}=2x porque logaritmo natural e exponencial são funções inversas. Assim
\frac{d}{dx}\ln e^{2x}=\frac{d}{dx}(2x)=2.
No y original esse termo aparece com sinal negativo, portanto contribui com -2 para y'.

Passo 6

Derivada do quarto termo \;T_4=2e^{\sqrt{x}}.
Aplicamos derivada da exponencial composta: com constante multiplicativa 2,
\frac{d}{dx}2e^{\sqrt{x}}=2\cdot e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) =2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Simplificando o 2:
\frac{d}{dx}2e^{\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \qquad (x>0).

Passo 7

Agora somamos todas as contribuições (respeitando os sinais do enunciado). Lembrando:
  • derivada de T_1 é -\sin x\ln 2\;2^{\cos x},
  • derivada de T_2 é e^{3x^{2}-5x-7}\!\left(3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)}+\ln(\tan 3x)\,(6x-5)\right) e aparece com sinal negativo na função original,
  • derivada de T_3 deu 2 e aparece com sinal negativo,
  • derivada de T_4 é \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.
Portanto a derivada total y' é
\begin{aligned} y'={}&-\sin x\ln 2\;2^{\cos x}\\[4pt] &-e^{3x^{2}-5x-7}\!\left(3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)}+\ln(\tan 3x)\,(6x-5)\right)\\[4pt] &-2+\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}. \end{aligned}
Opcionalmente, para a parte trigonométrica pode-se substituir 3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)} por \dfrac{6}{\sin(6x)}, obtendo uma forma alternativa equivalente.]

Resposta

y'=-\sin x\ln 2\;2^{\cos x}-e^{3x^{2}-5x-7}\!\left(3\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)}+\ln(\tan 3x)\,(6x-5)\right)-2+\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.

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