Determine a derivada das funções dada. f(x) = csc(3 x)

Passo 1

Beleza, a gente tem o exercício de encontrar a derivada da função . Isso está no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função . Sabemos que:
Isso significa que, para derivar , multiplicamos por .

Passo 3

Agora, aplicando a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. No nosso caso, é onde . A regra da cadeia diz que:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Já sabemos que:
E:

Passo 5

Agora, juntando tudo conforme a regra da cadeia:

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos escrever:

Resposta

A derivada da função é:

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