Uma função f:[-a, a] é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x in[-a, a]. Supondo que f é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(b) Conclua do item acima que
integral-a^a f(x) d x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções ímpares. Uma função é ímpar se para todo no intervalo , vale que . Além disso, sabemos que é contínua nesse intervalo. Para resolver essa parte, precisamos entender como a simetria de funções ímpares afeta a integral delas em intervalos simétricos em torno de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função representa a área sob a curva dessa função. Para funções ímpares, as áreas à esquerda e à direita do eixo y são simétricas, mas com sinais opostos. Isso significa que o que está à esquerda do eixo y vai “cancelar” o que está à direita.

Passo 3

Matematicamente, podemos dividir a integral de integral-a^a f(x) , dx = integral-a^0 f(x) , dx + integral0^a f(x) , dx a em duas partes: de a e de a . Vamos escrever isso:

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição na primeira integral: deixe integral-a^0 f(x) , dx = integrala^0 f(-u) , (-du) = integral0^a f(-u) , du . Quando varia de a , varia de a . A derivada , então . Substituindo:

Passo 5

Sabemos que integral0^a f(-u) , du = integral0^a -f(u) , du = -integral0^a f(u) , du é ímpar, então . Substituindo isso na integral:

Passo 6

Voltando à expressão original da integral:
integral-a^a f(x) , dx = -integral0^a f(u) , du + integral0^a f(u) , du
Aqui, temos uma integral negativa somada com a mesma integral positiva.

Passo 7

Quando subtraímos a mesma coisa de si, o resultado é zero:
-integral0^a f(u) , du + integral0^a f(u) , du = 0

Resposta

integral-a^a f(x) , dx = 0

Exercícios relacionados