Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\frac{1}{2} \log \left(\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\tfrac{1}{2}\,\log\bigl(\tan(x/2)\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a logaritmo e à tangente, além de usar identidades trigonométricas para simplificar o resultado.

Passo 2

Vamos primeiro extrair a constante fora da derivada:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\Bigl[\log\bigl(\tan(x/2)\bigr)\Bigr].

Passo 3

Para derivar \log(u) usamos \frac{d}{dx}[\log(u)]=\frac{u'}{u}. Aqui u(x)=\tan(x/2), então
\frac{d}{dx}\Bigl[\log\bigl(\tan(x/2)\bigr)\Bigr] =\frac{\bigl[\tan(x/2)\bigr]'}{\tan(x/2)}.

Passo 4

Agora derivamos u(x)=\tan(x/2) pela regra da cadeia:
\bigl[\tan(x/2)\bigr]' =\operatorname{sec}^2(x/2)\,\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x/2\bigr) =\operatorname{sec}^2(x/2)\,\cdot\tfrac12 =\tfrac12\,\operatorname{sec}^2(x/2).

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\tfrac{1}{2}\,\frac{\tfrac12\,\operatorname{sec}^2(x/2)}{\tan(x/2)} =\tfrac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sec}^2(x/2)}{\tan(x/2)}.

Passo 6

Para simplificar \frac{\operatorname{sec}^2(x/2)}{\tan(x/2)}, note que
\frac{\operatorname{sec}^2(x/2)}{\tan(x/2)} =\frac{1/\cos^2(x/2)}{\sin(x/2)/\cos(x/2)} =\frac{1}{\cos(x/2)\,\sin(x/2)} =\frac{2}{\sin(x)},
pois \sin(x)=2\sin(x/2)\cos(x/2). Portanto
f'(x)=\tfrac{1}{4}\,\frac{2}{\sin(x)} =\frac{1}{2\,\sin(x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\,\sin(x)}.

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