Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\frac{x^{3}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{arcsen}\!\bigl(\tfrac{x^3}{2}\bigr).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia junto com a derivada da função \operatorname{arcsen}(u).

Passo 2

Sabemos que, para u=u(x), vale
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arcsen}(u)\bigr] =\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 3

No nosso caso, u(x)=\tfrac{x^3}{2}. Logo
u'(x)=\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{x^3}{2}\Bigr) =\frac{3x^2}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada de \operatorname{arcsen}(u), obtemos
f'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^2}} =\frac{\tfrac{3x^2}{2}}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x^3}{2}\bigr)^2}} =\frac{\tfrac{3x^2}{2}}{\sqrt{1-\tfrac{x^6}{4}}}.

Passo 5

Para simplificar, note que
\sqrt{1-\tfrac{x^6}{4}} =\sqrt{\tfrac{4-x^6}{4}} =\frac{\sqrt{4-x^6}}{2}.
Assim,
f'(x) =\frac{\tfrac{3x^2}{2}}{\tfrac{\sqrt{4-x^6}}{2}} =\frac{3x^2}{\sqrt{4-x^6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{4-x^6}}.

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