Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+x+1}}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma função potência com expoente racional.

Passo 2

Reescrevemos f em forma de potência para facilitar a derivação. Definimos
u(x)=x^{2}+x+1,
de modo que
f(x)=u(x)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Usando a regra da cadeia, temos
f'(x)=\bigl(u(x)^{-\tfrac{1}{3}}\bigr)'= -\tfrac{1}{3}\,u(x)^{-\tfrac{4}{3}}\cdot u'(x).
Agora calculamos
u'(x)=(x^{2}+x+1)'=2x+1.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=-\tfrac{1}{3}\,(x^{2}+x+1)^{-\tfrac{4}{3}}\,(2x+1) =-\frac{2x+1}{3\,(x^{2}+x+1)^{\tfrac{4}{3}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2x+1}{3\,(x^{2}+x+1)^{\tfrac{4}{3}}}.

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