Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\operatorname{sen}\left(\cos \left(e^{x}\right)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sin\bigl(\cos(e^x)\bigr)
e pede f'(x). Esse é um caso de composição de três funções, então vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Identifique a função externa e a intermediária:
a) função externa: \sin(u), com u(x)=\cos(e^x).
Pela regra da cadeia para \sin(u):
f'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x) =\cos\bigl(\cos(e^x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\cos(v(x)) onde v(x)=e^x. Novamente, regra da cadeia:
u'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,\cdot v'(x) =-\sin(e^x)\,\cdot e^x.
Substituindo em f'(x):
f'(x) =\cos\bigl(\cos(e^x)\bigr)\,\bigl[-\sin(e^x)\,e^x\bigr] =-e^x\,\sin(e^x)\,\cos\bigl(\cos(e^x)\bigr).

Resposta

f'(x) = -e^x\,\sin(e^x)\,\cos\bigl(\cos(e^x)\bigr).

Exercícios relacionados