Determine a derivada das funções a seguir:
f(x)=\frac{3}{4} x^{2}-\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\frac{3}{4}x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}.
O conteúdo envolve as regras de derivação: a regra do poder para monômios e a regra da constante.

Passo 2

Lembrando que, para uma função do tipo \displaystyle a\,x^{n}, vale a regra do poder
\frac{d}{dx}\bigl(a\,x^{n}\bigr)=a\cdot n\,x^{n-1},
e que a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.

Passo 3

Aplicando essas regras termo a termo em
\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}, temos
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{3}{4}x^{2}\Bigr)=\frac{3}{4}\cdot 2\,x^{2-1}=\frac{3}{2}x,
\frac{d}{dx}\!\Bigl(-\frac{2}{3}x\Bigr)=-\frac{2}{3}\cdot 1\,x^{1-1}=-\frac{2}{3},
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)=0.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}.

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