36- \int x \cdot \tan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int x\,\tan(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes e a fórmula
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Passo 2

Em integração por partes, escolhemos
u = x,\quad dv = \tan(x)\,dx,
de modo que
du = dx,\quad v = \int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr|.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int x\,\tan(x)\,dx = x\cdot\bigl(-\ln\lvert\cos(x)\rvert\bigr) - \int \bigl(-\ln\lvert\cos(x)\rvert\bigr)\,dx
ou seja
\int x\,\tan(x)\,dx = -\,x\,\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \int \ln\bigl|\cos(x)\bigr|\,dx.

Passo 4

A integral
\int \ln\bigl|\cos(x)\bigr|\,dx
não se expressa em funções elementares usuais, sendo normalmente deixada nesse formato (ou escrita em termos de funções especiais, como dilogarítmo).

Resposta

\int x\,\tan(x)\,dx = -\,x\,\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \int \ln\bigl|\cos(x)\bigr|\,dx + C.

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