Determine a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada de primeira ordem. Informações fornecidas:
- A função é
. - Pedido: achar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, a derivada do produto é
Aqui
e
significam as derivadas de
e
em relação a
. Intuição rápida: a variação do produto vem da variação de cada fator mantendo o outro fixo, somando os dois efeitos.
Passo 3
Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas usando a regra do expoente (regra da potência).
A regra da potência diz que para um inteiro ,
A regra da potência diz que para um inteiro
Aplicando:
- Tome
. Então e . Logo
- Tome
. Para aplicamos a regra da potência com coeficiente: . Para , . Logo
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto
com
e
:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar em etapas, fazendo contas passo a passo.
Calcule o primeiro produto:
Calcule o primeiro produto:
Calcule o segundo produto expandindo termo a termo:
Essa expressão dá
Somando esses dois resultados:
Agora some os dois blocos obtidos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Verificação rápida: cada passo usou operações elementares (regra do produto, regra da potência e expansão distributiva). O resultado é um polinômio de grau
. Não há fator comum inteiro além de
que simplifique todos os coeficientes, então deixamos a forma expandida.