Determine a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
g(x)=\left(x^{3}-3\right)\left(2 x^{4}+x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada de primeira ordem. Informações fornecidas:
  • A função é g(x)=\left(x^{3}-3\right)\left(2 x^{4}+x\right).
  • Pedido: achar g'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' e v' significam as derivadas de u e v em relação a x. Intuição rápida: a variação do produto vem da variação de cada fator mantendo o outro fixo, somando os dois efeitos.

Passo 3

Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas usando a regra do expoente (regra da potência).
A regra da potência diz que para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aplicando:
  • Tome u(x)=x^{3}-3. Então \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}(-3)=0. Logo
u'(x)=3x^{2}.
  • Tome v(x)=2x^{4}+x. Para 2x^{4} aplicamos a regra da potência com coeficiente: \dfrac{d}{dx}(2x^{4})=2\cdot 4 x^{3}=8x^{3}. Para x, \dfrac{d}{dx}(x)=1. Logo
v'(x)=8x^{3}+1.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com u=x^{3}-3 e v=2x^{4}+x:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u',u,v',v:
g'(x)=(3x^{2})(2x^{4}+x)+(x^{3}-3)(8x^{3}+1).

Passo 5

Vamos expandir e simplificar em etapas, fazendo contas passo a passo.
Calcule o primeiro produto:
(3x^{2})(2x^{4}+x)=3x^{2}\cdot 2x^{4}+3x^{2}\cdot x=6x^{6}+3x^{3}.
Calcule o segundo produto expandindo termo a termo:
(x^{3}-3)(8x^{3}+1)=x^{3}\cdot(8x^{3}+1)-3\cdot(8x^{3}+1).
Essa expressão dá
x^{3}\cdot(8x^{3}+1)=8x^{6}+x^{3},
-3\cdot(8x^{3}+1)=-24x^{3}-3.
Somando esses dois resultados:
(x^{3}-3)(8x^{3}+1)=8x^{6}+x^{3}-24x^{3}-3=8x^{6}-23x^{3}-3.
Agora some os dois blocos obtidos:
g'(x)=\bigl(6x^{6}+3x^{3}\bigr)+\bigl(8x^{6}-23x^{3}-3\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
g'(x)=(6x^{6}+8x^{6})+(3x^{3}-23x^{3})-3=14x^{6}-20x^{3}-3.

Passo 6

Verificação rápida: cada passo usou operações elementares (regra do produto, regra da potência e expansão distributiva). O resultado é um polinômio de grau 6. Não há fator comum inteiro além de 1 que simplifique todos os coeficientes, então deixamos a forma expandida.

Resposta

g'(x)=14x^{6}-20x^{3}-3

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