Verifique se a função é contínua no ponto especificado f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{x-2}, & x \neq 2 \\\\ 0, & x=2\end{array}\right. No ponto x=2
e pede para verificar se f é contínua no ponto x=2.
Informações fornecidas:
Para todo x\neq 2 vale f(x)=\dfrac{3}{x-2}.
O valor de f no ponto é f(2)=0.
A pergunta específica é: a função é contínua em x=2?]
Passo 2
Lembrete do que significa ser contínuo em um ponto (explicação passo a passo):
A função f é contínua em x=2 se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras:
f(2) está definido (ou seja, existe um valor atribuído a f em x=2).
O limite \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) existe e é finito.
Esse limite coincide com o valor da função: \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2).
No nosso caso a condição 1 já é satisfeita porque o enunciado dá f(2)=0.
Portanto precisamos calcular \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) e ver se é igual a 0.
Passo 3
Estratégia para calcular o limite: como a expressão para f(x) quando x\neq 2 é \dfrac{3}{x-2}, é útil estudar os limites laterais (pela direita e pela esquerda) porque o comportamento ao aproximar de 2 depende do sinal do denominador.
Faça a substituição h=x-2. Então x\to 2 equivale a h\to 0 e, para x\neq 2,
f(x)=\frac{3}{x-2}=\frac{3}{h}.
Agora analisamos h\to 0^+ (direita) e h\to 0^- (esquerda).
Passo 4
Limite pela direita (x\to 2^+, ou h\to 0^+):
Se h\to 0^+ então h>0 e muito pequeno, logo \dfrac{3}{h} é um número positivo que cresce sem limite quando h tende a zero.
Isto significa que f(x) vai para -\infty ao aproximar 2 pela esquerda.
Passo 6
Interpretação e conclusão sobre o limite em x=2:
Como os limites laterais não são iguais (+\infty pela direita e -\infty pela esquerda), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) não existe como número finito — na verdade a função diverge (tem uma singularidade do tipo assíntota vertical) em x=2.
Em particular, mesmo que f(2)=0 esteja definido, a condição de continuidade que exige \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2) falha porque o limite não existe (nem é igual a 0).