Verifique se a função é contínua no ponto especificado
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{x-2}, & x \neq 2 \\\\ 0, & x=2\end{array}\right. No ponto x=2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}\dfrac{3}{x-2}, & x\neq 2,\\[6pt] 0, & x=2,\end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto x=2.
Informações fornecidas:
  • Para todo x\neq 2 vale f(x)=\dfrac{3}{x-2}.
  • O valor de f no ponto é f(2)=0.
  • A pergunta específica é: a função é contínua em x=2?]

Passo 2

Lembrete do que significa ser contínuo em um ponto (explicação passo a passo):
  • A função f é contínua em x=2 se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras:
    1. f(2) está definido (ou seja, existe um valor atribuído a f em x=2).
    2. O limite \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) existe e é finito.
    3. Esse limite coincide com o valor da função: \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2).
  • No nosso caso a condição 1 já é satisfeita porque o enunciado dá f(2)=0.
  • Portanto precisamos calcular \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) e ver se é igual a 0.

Passo 3

Estratégia para calcular o limite: como a expressão para f(x) quando x\neq 2 é \dfrac{3}{x-2}, é útil estudar os limites laterais (pela direita e pela esquerda) porque o comportamento ao aproximar de 2 depende do sinal do denominador.
Faça a substituição h=x-2. Então x\to 2 equivale a h\to 0 e, para x\neq 2,
f(x)=\frac{3}{x-2}=\frac{3}{h}.
Agora analisamos h\to 0^+ (direita) e h\to 0^- (esquerda).

Passo 4

Limite pela direita ( x\to 2^+, ou h\to 0^+):
  • Se h\to 0^+ então h>0 e muito pequeno, logo \dfrac{3}{h} é um número positivo que cresce sem limite quando h tende a zero.
  • Formalmente,
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{h\to 0^+}\frac{3}{h}=+\infty.
Isto significa que f(x) cresce sem limite positivo ao aproximar 2 pela direita.

Passo 5

Limite pela esquerda ( x\to 2^-, ou h\to 0^-):
  • Se h\to 0^- então h<0 e muito pequeno em magnitude, logo \dfrac{3}{h} é um número negativo com módulo que cresce sem limite quando h tende a zero.
  • Formalmente,
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{h\to 0^-}\frac{3}{h}=-\infty.
Isto significa que f(x) vai para -\infty ao aproximar 2 pela esquerda.

Passo 6

Interpretação e conclusão sobre o limite em x=2:
  • Como os limites laterais não são iguais ( +\infty pela direita e -\infty pela esquerda), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) não existe como número finito — na verdade a função diverge (tem uma singularidade do tipo assíntota vertical) em x=2.
  • Em particular, mesmo que f(2)=0 esteja definido, a condição de continuidade que exige \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2) falha porque o limite não existe (nem é igual a 0).

Resposta

A função não é contínua em x=2.

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