Verifique se a função é contínua no ponto especificado f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{sen} x}{x}, & x \neq 0 \\\\ 1, & x=0\end{array}\right. No ponto x=0
A pergunta é clara: verificar se f é contínua no ponto x=0.
Informações importantes fornecidas:
Para x\neq 0 temos a expressão \dfrac{\sin x}{x}.
No próprio ponto x=0 a função vale f(0)=1.
O que precisamos decidir: se \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) existe e é igual a f(0).]
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre continuidade num ponto: uma função f é contínua em x=0 se e somente se
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Isto significa que, ao aproximarmos x de 0 por qualquer lado, os valores de f(x) devem se aproximar exatamente de 1 (porque f(0)=1). Então o objetivo prático é calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} e comparar com 1.
Passo 3
Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}. Uma maneira clássica e totalmente elementar usa o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Primeiro, para x próximo de 0 e positivo (ou seja 0<x<\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade trigonométrica clássica obtida geometricamente:
\sin x < x < \tan x.
Como x>0 e \sin x>0 nessa região, podemos dividir a desigualdade por x\sin x sem trocar os sinais, obtendo
\frac{\sin x}{x} < 1 < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo a segunda desigualdade de forma conveniente (ou reorganizando os passos) chegam-se às desigualdades mais usuais
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\qquad\text{para }0<x<\frac{\pi}{2}.
(Observação: em x=0 as desigualdades fazem sentido por continuidade dos envolvidos; aqui estamos usando-as para x próximos de 0, x\neq0.)
Passo 4
Aplicando o Teorema do Confronto: sabemos que
\lim_{x\to 0^+}\cos x = 1\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 0^+} 1 = 1.
Como \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1 para x próximos de 0 pela direita, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Passo 5
Precisamos também da limite pela esquerda. Note que a função x\mapsto \dfrac{\sin x}{x} é par, isto é,
\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}.
Portanto o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita:
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1.
Como os limites laterais coincidem, temos o limite total
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Passo 6
Concluímos que \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=1. Como f(0)=1, a definição de continuidade em 0 é satisfeita. Logo f é contínua em x=0.