Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(x^{3}+4 x\right)^{7}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}+4 x\right)^{7}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de uma expressão que depende de x: a parte externa é a potência ^{7} e a parte interna é x^{3}+4x.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos rever uma regra essencial que vamos usar (explicada de forma simples): a regra da potência para uma função direta. Se temos uma função g(t)=t^{n}, onde n é um número real e t é a variável, a derivada é
g'(t)=n\,t^{n-1}.
Isto significa que a gente “desce” o expoente e diminui o expoente em 1. Exemplo rápido: a derivada de t^{7} é 7t^{6}.

Passo 3

Agora precisamos lidar com o fato de que a função dada não é simplesmente t^{7} com t=x, mas sim uma composição: primeiro calculamos u(x)=x^{3}+4x e depois elevamos u à sétima potência. Para composições usamos a regra da cadeia (vou explicar intuitivamente): quando você tem f(x)=g(u(x)), a variação de f quando x muda é a variação de g em função de u multiplicada pela variação de u em função de x. Em fórmulas:
\text{se } f(x)=g(u(x)) \text{ então } f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).ã
Aqui definimos explicitamente a função interna:
u(x)=x^{3}+4x.
Calculamos a derivada de u usando linearidade e a regra da potência para cada termo:
  • a derivada de x^{3} é 3x^{2},
  • a derivada de 4x é 4.
    Portanto
u'(x)=3x^{2}+4.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: a função externa é g(t)=t^{7}, cuja derivada é g'(t)=7t^{6}. Substituindo t=u(x) e multiplicando por u'(x) obtemos (mantendo u explícito):
f'(x)=7\bigl(u(x)\bigr)^{6}\cdot u'(x).
Já calculamos u'(x)=3x^{2}+4. Assim, em forma que ainda usa u(x), temos
f'(x)=7\bigl(u(x)\bigr)^{6}\bigl(3x^{2}+4\bigr).
No próximo passo eu apresento a resposta final substituindo u(x)=x^{3}+4x.

Resposta

f'(x)=7\bigl(x^{3}+4x\bigr)^{6}\bigl(3x^{2}+4\bigr)

Exercícios relacionados