Determine a derivada das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma potência de uma expressão que depende de
: a parte externa é a potência e a parte interna é . - A tarefa é encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos rever uma regra essencial que vamos usar (explicada de forma simples): a regra da potência para uma função direta. Se temos uma função
, onde
é um número real e
é a variável, a derivada é
Isto significa que a gente “desce” o expoente e diminui o expoente em 1. Exemplo rápido: a derivada de
é
.
Passo 3
Agora precisamos lidar com o fato de que a função dada não é simplesmente
com
, mas sim uma composição: primeiro calculamos
e depois elevamos
à sétima potência. Para composições usamos a regra da cadeia (vou explicar intuitivamente): quando você tem
, a variação de
quando
muda é a variação de
em função de
multiplicada pela variação de
em função de
. Em fórmulas:
Aqui definimos explicitamente a função interna:
Calculamos a derivada de
usando linearidade e a regra da potência para cada termo:
- a derivada de
é , - a derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia: a função externa é
, cuja derivada é
. Substituindo
e multiplicando por
obtemos (mantendo
explícito):
Já calculamos
. Assim, em forma que ainda usa
, temos
No próximo passo eu apresento a resposta final substituindo
.