Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
f)( )
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Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para decidir se ela pode ser uma equação de plano. As informações relevantes são: a expressão linear em
e
igualada a zero; não aparece termo em
nem termo constante isolado. A pergunta é: essa igualdade pode representar um plano (tipicamente em
)?
Passo 2
Vamos lembrar qual é a forma geral de uma equação de plano em
. Uma equação de plano tem a forma
onde
,
e
não são todos zero ao mesmo tempo. Aqui
,
,
são as coordenadas no espaço tridimensional, e
são as componentes do vetor normal ao plano. O número
desloca o plano em relação à origem. Se
isso significa que o plano não varia em função de
— ele é paralelo ao eixo
.
Passo 3
Compare a equação dada com a forma geral. Podemos escrever
como
Então aqui
,
,
e
. Note que
e
não são ambos zero, portanto a condição “não são todos zero” é satisfeita. Logo, do ponto de vista algébrico, essa expressão encaixa na forma de um plano em
.
Passo 4
Interpretação geométrica: o vetor normal do plano é
ou seja, a direção perpendicular ao plano não tem componente em
. Isso implica que o plano é paralelo ao eixo
e passa pela origem (porque
). Em palavras: é o conjunto de todos os pontos
tais que a projeção
no plano
satisfaz
; a coordenada
é livre.
Passo 5
Para ver explicitamente que é um plano (conjunto de dimensão 2), podemos parametrizá-lo. Da equação
isolamos
:
Tomando parâmetros
e
com
e
, obtemos a forma paramétrica
Esta é a combinação linear de dois vetores independentes, portanto o conjunto tem dimensão 2 e é um plano que passa pela origem. Exemplos de pontos do plano:
e
porque
.
Passo 6
Observação importante: se o espaço considerado fosse
, a equação
representaria uma reta (pois em
uma equação linear define uma reta). A resposta depende, portanto, do espaço ambiente. Mas em contexto padrão de perguntas sobre “equações de planos” entende-se
.
Resposta
Sim — em
a equação
representa um plano (com vetor normal
e paralelo ao eixo
).