Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
f)( ) 5 x+4 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
5x+4y=0
e pede para decidir se ela pode ser uma equação de plano. As informações relevantes são: a expressão linear em x e y igualada a zero; não aparece termo em z nem termo constante isolado. A pergunta é: essa igualdade pode representar um plano (tipicamente em \mathbb{R}^3)?

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma geral de uma equação de plano em \mathbb{R}^3. Uma equação de plano tem a forma
ax+by+cz+d=0,
onde a, b e c não são todos zero ao mesmo tempo. Aqui x, y, z são as coordenadas no espaço tridimensional, e a,b,c são as componentes do vetor normal ao plano. O número d desloca o plano em relação à origem. Se c=0 isso significa que o plano não varia em função de z — ele é paralelo ao eixo z.

Passo 3

Compare a equação dada com a forma geral. Podemos escrever
5x+4y=0
como
5x+4y+0\cdot z+0=0.
Então aqui a=5, b=4, c=0 e d=0. Note que a e b não são ambos zero, portanto a condição “não são todos zero” é satisfeita. Logo, do ponto de vista algébrico, essa expressão encaixa na forma de um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Interpretação geométrica: o vetor normal do plano é
\mathbf{n}=(5,4,0),
ou seja, a direção perpendicular ao plano não tem componente em z. Isso implica que o plano é paralelo ao eixo z e passa pela origem (porque d=0). Em palavras: é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que a projeção (x,y) no plano xy satisfaz 5x+4y=0; a coordenada z é livre.

Passo 5

Para ver explicitamente que é um plano (conjunto de dimensão 2), podemos parametrizá-lo. Da equação 5x+4y=0 isolamos x:
x=-\tfrac{4}{5}y.
Tomando parâmetros s e t com y=s e z=t, obtemos a forma paramétrica
(x,y,z)=\left(-\tfrac{4}{5}s,\;s,\;t\right)=s\left(-\tfrac{4}{5},1,0\right)+t(0,0,1).
Esta é a combinação linear de dois vetores independentes, portanto o conjunto tem dimensão 2 e é um plano que passa pela origem. Exemplos de pontos do plano: (0,0,0) e (4,-5,1) porque 5\cdot 4+4\cdot(-5)=0.

Passo 6

Observação importante: se o espaço considerado fosse \mathbb{R}^2, a equação 5x+4y=0 representaria uma reta (pois em \mathbb{R}^2 uma equação linear define uma reta). A resposta depende, portanto, do espaço ambiente. Mas em contexto padrão de perguntas sobre “equações de planos” entende-se \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim — em \mathbb{R}^3 a equação 5x+4y=0 representa um plano (com vetor normal (5,4,0) e paralelo ao eixo z).

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