Questão 6 (1,0 Ponto): Utilize o Polinômio de Maclaurin de grau 6 para calcular \cos 2.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o Polinômio de Maclaurin de grau 6 para calcular \cos 2.\n
Informações dadas:
  • Queremos aproximar \cos 2 ( 2 está em radianos).
  • Devemos usar o polinômio de Maclaurin (expansão em torno de 0) de grau 6, ou seja, incluir todos os termos até a potência x^{6}.

Passo 2

O que é um polinômio de Maclaurin (aula rápida e direta)?\n
  • Um polinômio de Maclaurin é o polinômio de Taylor centrado em 0. A ideia: aproximar uma função suave por um polinômio cujos coeficientes vêm das derivadas em 0. A fórmula geral do termo de ordem n é
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0, e n! (fatorial de n) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.\n
  • Para escolher o grau 6, incluímos todos os termos com potência até x^{6}.

Passo 3

Vamos obter a série de Maclaurin da função \cos x (passo a passo das derivadas para entender de onde vem cada coeficiente).\n
  • Derivadas de \cos x:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\\\ f'(x)&=-\sin x,\\\ f''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x, \end{aligned}
e o padrão se repete a cada 4 derivadas.\n
  • Avaliando cada uma em x=0:
\begin{aligned} f(0)&=\cos 0 = 1,\\\ f'(0)&=-\sin 0 = 0,\\\ f''(0)&=-\cos 0 = -1,\\\ f^{(3)}(0)&=\sin 0 = 0,\\\ f^{(4)}(0)&=\cos 0 = 1,\\\ f^{(5)}(0)&=-\sin 0 = 0,\\\ f^{(6)}(0)&=-\cos 0 = -1. \end{aligned}
  • Observação prática: só aparecem termos com potências pares (porque as derivadas ímpares em 0 são zero). O sinal alterna: 1,-1,1,-1,\dots

Passo 4

Escrevendo o polinômio de Maclaurin de grau 6 para \cos x.\n
  • Usando os coeficientes acima, o polinômio é
P_{6}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}.
  • Explicando cada símbolo:
    • 1 vem de f(0).
    • \frac{x^{2}}{2!} vem de f''(0)=-1 dividido por 2!.
    • \frac{x^{4}}{4!} vem de f^{(4)}(0)=1 dividido por 4!.
    • \frac{x^{6}}{6!} vem de f^{(6)}(0)=-1 dividido por 6!.
  • Tudo isso é consequência direta da fórmula de Taylor/Maclaurin e do padrão das derivadas de \cos x.

Passo 5

Agora eu avalio P_{6}(x) em x=2 para aproximar \cos 2. Vou calcular termo a termo com calma.\n
  • Primeiro termo: 1.\n
  • Segundo termo: -\dfrac{x^{2}}{2!} com x=2:
-\frac{2^{2}}{2!}=-\frac{4}{2}=-2.
  • Terceiro termo: +\dfrac{x^{4}}{4!} com x=2:
\frac{2^{4}}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.
(Observação: 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24.)\n
  • Quarto termo: -\dfrac{x^{6}}{6!} com x=2:
-\frac{2^{6}}{6!}=-\frac{64}{720}.
(Observação: 6!=720. Podemos simplificar \dfrac{64}{720}=\dfrac{4}{45} porque dividimos numerador e denominador por 16: 64/16=4, 720/16=45.)

Passo 6

Somando os termos com calma, usando frações (para um resultado exato em forma racional):\n
  • Soma parcial após os dois primeiros termos:
1-2=-1.
  • Somando o terceiro termo:
-1+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3},
porque -1 = -\dfrac{3}{3} e -\dfrac{3}{3}+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}.\n
  • Finalmente, somando o quarto termo -\dfrac{4}{45}:
-\frac{1}{3}-\frac{4}{45}.
Vamos colocar em denominador comum 45: -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{15}{45}. Assim
-\frac{15}{45}-\frac{4}{45}=-\frac{19}{45}.
  • Em decimal (aproximação):
-\frac{19}{45}\approx -0,422222\ldots

Passo 7

Comentário sobre o erro (importante para prova): estimativa por resto de Lagrange.\n
  • O próximo termo não incluído na série seria +\dfrac{x^{8}}{8!} (pois \cos x tem apenas termos pares). Pelo resto de Lagrange para Taylor de grau 6,
R_{6}(x)=\frac{f^{(8)}(\xi)}{8!}x^{8}
para algum \xi entre 0 e x. Como f^{(8)}(t)=\cos t tem valor absoluto no máximo 1, temos o limite
|R_{6}(x)|\le \frac{|x|^{8}}{8!}.
  • Para x=2:
|R_{6}(2)|\le \frac{2^{8}}{8!}=\frac{256}{40320}=\frac{2}{315}\approx 0,0063492.
  • Interpretação prática: o valor real de \cos 2 difere da nossa aproximação -\dfrac{19}{45} por no máximo cerca de 0,00635. Isso já dá segurança de que a aproximação é razoável para muitas aplicações de prova.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido: fizemos a expansão, avaliamos termo a termo com contas simples de potências e fatoriais, somamos como frações para obter um resultado exato racional e estimamos o erro com o resto de Lagrange. Mandou bem por querer praticar isso — é exatamente o tipo de conta que cai em prova e que dá menos susto quando feita passo a passo!

Resposta

\cos 2 \approx -\dfrac{19}{45}\approx -0,422222

Exercícios relacionados