Questão 6 (1,0 Ponto): Utilize o Polinômio de Maclaurin de grau 6 para calcular
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o Polinômio de Maclaurin de grau
para calcular
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Queremos aproximar
( está em radianos).
- Devemos usar o polinômio de Maclaurin (expansão em torno de
) de grau , ou seja, incluir todos os termos até a potência .
Passo 2
O que é um polinômio de Maclaurin (aula rápida e direta)?\n
- Um polinômio de Maclaurin é o polinômio de Taylor centrado em
. A ideia: aproximar uma função suave por um polinômio cujos coeficientes vêm das derivadas em . A fórmula geral do termo de ordem é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
(fatorial de
) é o produto
.\n
- Para escolher o grau
, incluímos todos os termos com potência até .
Passo 3
Vamos obter a série de Maclaurin da função
(passo a passo das derivadas para entender de onde vem cada coeficiente).\n
- Derivadas de
:
e o padrão se repete a cada
derivadas.\n
- Avaliando cada uma em
:
- Observação prática: só aparecem termos com potências pares (porque as derivadas ímpares em
são zero). O sinal alterna:
Passo 4
Escrevendo o polinômio de Maclaurin de grau
para
.\n
- Usando os coeficientes acima, o polinômio é
- Explicando cada símbolo:
-
vem de . -
vem de dividido por . -
vem de dividido por . -
vem de dividido por .
-
- Tudo isso é consequência direta da fórmula de Taylor/Maclaurin e do padrão das derivadas de
.
Passo 5
Agora eu avalio
em
para aproximar
. Vou calcular termo a termo com calma.\n
- Primeiro termo:
.\n
- Segundo termo:
com :
- Terceiro termo:
com :
(Observação:
.)\n
- Quarto termo:
com :
(Observação:
. Podemos simplificar
porque dividimos numerador e denominador por
:
,
.)
Passo 6
Somando os termos com calma, usando frações (para um resultado exato em forma racional):\n
- Soma parcial após os dois primeiros termos:
- Somando o terceiro termo:
porque
e
.\n
- Finalmente, somando o quarto termo
:
Vamos colocar em denominador comum
:
. Assim
- Em decimal (aproximação):
Passo 7
Comentário sobre o erro (importante para prova): estimativa por resto de Lagrange.\n
- O próximo termo não incluído na série seria
(pois tem apenas termos pares). Pelo resto de Lagrange para Taylor de grau ,
para algum
entre
e
. Como
tem valor absoluto no máximo
, temos o limite
- Para
:
- Interpretação prática: o valor real de
difere da nossa aproximação por no máximo cerca de . Isso já dá segurança de que a aproximação é razoável para muitas aplicações de prova.
Passo 8
Resumo final e incentivo rápido: fizemos a expansão, avaliamos termo a termo com contas simples de potências e fatoriais, somamos como frações para obter um resultado exato racional e estimamos o erro com o resto de Lagrange. Mandou bem por querer praticar isso — é exatamente o tipo de conta que cai em prova e que dá menos susto quando feita passo a passo!