Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
s=cos ^4(1-2 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a derivada da função $ s = \cos^{4}(1 - 2t) $ usando a Regra da Cadeia. Isso significa que vamos trabalhar com funções compostas e precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a do cosseno e a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função: $ s = \left(\cos(1 - 2t)\right)^{4} $. Aqui, vemos que temos uma função cosseno dentro de outra função, que é a potência de 4. Isso é exatamente o tipo de situação onde a Regra da Cadeia é útil.

Passo 3

A Regra da Cadeia serve pra gente derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Ela basicamente diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Vamos identificar as partes da nossa função:
  • Função externa: $ u^{4} $, onde $ u = \cos(1 - 2t) $
  • Função interna: $ \cos(1 - 2t) $

Passo 5

Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a $ u $. A derivada de $ u^{4} $ é $ 4u^{3} $.

Passo 6

Agora, vamos derivar a função interna $ u = \cos(1 - 2t) $. A derivada de $ \cos(v) $ em relação a $ v $ é $ -\sin(v) $, onde $ v = 1 - 2t $.

Passo 7

Em seguida, derivamos $ v = 1 - 2t $ em relação a $ t $, o que dá $ v’ = -2 $.

Passo 8

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia juntando tudo:
dsdt = 4 [cos(1 - 2t)]^3 cdot (-sin(1 - 2t)) cdot (-2)

Resposta

Simplificando os sinais, chegamos à derivada final:
dsdt = 8 [cos(1 - 2t)]^3 sin(1 - 2t)

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