Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a derivada da função $ s = \cos^{4}(1 - 2t) $ usando a Regra da Cadeia. Isso significa que vamos trabalhar com funções compostas e precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a do cosseno e a potência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função: $ s = \left(\cos(1 - 2t)\right)^{4} $. Aqui, vemos que temos uma função cosseno dentro de outra função, que é a potência de 4. Isso é exatamente o tipo de situação onde a Regra da Cadeia é útil.
Passo 3
A Regra da Cadeia serve pra gente derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Ela basicamente diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Vamos identificar as partes da nossa função:
- Função externa: $ u^{4} $, onde $ u = \cos(1 - 2t) $
- Função interna: $ \cos(1 - 2t) $
Passo 5
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a $ u $. A derivada de $ u^{4} $ é $ 4u^{3} $.
Passo 6
Agora, vamos derivar a função interna $ u = \cos(1 - 2t) $. A derivada de $ \cos(v) $ em relação a $ v $ é $ -\sin(v) $, onde $ v = 1 - 2t $.
Passo 7
Em seguida, derivamos $ v = 1 - 2t $ em relação a $ t $, o que dá $ v’ = -2 $.
Passo 8
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia juntando tudo:
Resposta
Simplificando os sinais, chegamos à derivada final: