Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ y = \left( \theta^{2} + \sec \theta \right)^{2} $ e precisamos achar a derivada dessa função em relação a $ \theta $. O conteúdo relacionado aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que compõem a função composta. Podemos ver que temos uma função externa e uma função interna. A função externa é algo elevado ao quadrado, $ u^{2} $, e a função interna é $ u = \theta^{2} + \sec \theta $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra diz que a derivada de uma função externa em relação a $ \theta $ é a derivada da função externa em relação a $ u $ multiplicada pela derivada da função interna em relação a $ \theta $. Matemáticamente, isso fica:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente. Primeiro, derivados da função externa $ y = u^{2} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da função interna $ u = \theta^{2} + \sec \theta $:
Passo 6
Agora, substituímos $ u $ de volta na expressão da derivada da função externa:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Resposta
A derivada de $ y = \left( \theta^{2} + \sec \theta \right)^{2} $ em relação a $ \theta $ é: