Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
y=(theta^2+sec theta)^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ y = \left( \theta^{2} + \sec \theta \right)^{2} $ e precisamos achar a derivada dessa função em relação a $ \theta $. O conteúdo relacionado aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que compõem a função composta. Podemos ver que temos uma função externa e uma função interna. A função externa é algo elevado ao quadrado, $ u^{2} $, e a função interna é $ u = \theta^{2} + \sec \theta $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra diz que a derivada de uma função externa em relação a $ \theta $ é a derivada da função externa em relação a $ u $ multiplicada pela derivada da função interna em relação a $ \theta $. Matemáticamente, isso fica:
theta

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente. Primeiro, derivados da função externa $ y = u^{2} $:
y = u^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função interna $ u = \theta^{2} + \sec \theta $:
u = theta^2 + sec theta

Passo 6

Agora, substituímos $ u $ de volta na expressão da derivada da função externa:
u

Passo 7

Finalmente, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
dydtheta = 2(theta^2 + sec theta) cdot (2theta + sec theta tan theta)

Resposta

A derivada de $ y = \left( \theta^{2} + \sec \theta \right)^{2} $ em relação a $ \theta $ é:
y = ( theta^2 + sec theta )^2

Exercícios relacionados