Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
r=raiz2 theta sen theta

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: a gente precisa achar a derivada da função r=raiz2thetasintheta. O que vamos usar aqui é a regra da cadeia junto com a regra do produto, porque dentro da raiz tem um produto de 2theta com sintheta.

Passo 2

Reescrever a função para facilitar a aplicação das regras: escrevemos
r=(2thetasintheta)^tfrac12

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia: se r=(u)^1/2, então r'=tfrac12u^-1/2cdot u'. Aqui u(theta)=2thetasintheta.

Passo 4

Calcular u'(theta) pela regra do produto: como u=2thetacdotsintheta, temos
u'=2cdotsintheta + 2thetacdotcostheta = 2sintheta + 2thetacostheta

Passo 5

Substituir na expressão de r':
r'=12(2thetasintheta)^-1/2l(2sintheta + 2thetacosthetar)

Passo 6

Simplificar fatores comuns: dividir o 2 do numerador com o tfrac12 e recolocar a raiz no denominador:
$$r

Resposta

r'=dfracsintheta + thetacosthetaraiz2theta,sintheta

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