Usando a informação de que Gamma(12)=raizpi e o problema anterior, determine Lf(t) para as funções abaixo:
f(t)=2 t^1 / 2+8 t^5 / 2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=2 t^{1/2}+8 t^{5/2}, sabendo que Γ(1/2)=√π e usando o resultado anterior sobre transformada de potências. O conteúdo aqui é transformada de Laplace de t^a.

Passo 2

A fórmula geral é
Lt^a=integral0^inftyt^a e^-stdt=Gamma(a+1)s^a+1

Passo 3

Precisamos dos valores de Γ(3/2) e Γ(7/2). Usando Γ(a+1)=a·Γ(a) e Γ(1/2)=√π obtemos
Γ(3/2)=tfrac12·Γ(1/2)=tfrac12√π,
Γ(7/2)=tfrac52·tfrac32·tfrac12·Γ(1/2)=tfrac158√π

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula termo a termo e somamos:
Para 2 t^{1/2}:
L2t^1/2=2·Γ(3/2)s^3/2=2·tfrac12√πs^3/2=√πs^3/2
Para 8 t^{5/2}:
L8t^5/2=8·Γ(7/2)s^7/2=8·tfrac158√πs^7/2=15√πs^7/2
Somando os dois resultados, temos a transformada de f(t).

Resposta

Lf(t)=\sqrt{\pi}\Bigl(\frac{1}{s{3/2}}+\frac{15}{s{7/2}}\Bigr))

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