Determine a derivada das seguintes funções:
y=e^{5-7 x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y = e^{5-7 x}.
Informações dadas: a função é uma exponencial de base e com expoente que depende de x, especificamente o expoente é 5-7x. O que precisamos encontrar é y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar: regra da cadeia para derivadas. Ela diz, de forma prática: se temos uma função composta y = f(u(x)), onde u(x) é uma função de x e f é uma função de u, então a derivada é
y' = f'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso, f(u)=e^{u} e u(x) é o expoente. A derivada de f(u)=e^{u} em relação a u é simples:
\frac{d}{du} e^{u} = e^{u}.
Ou seja: a exponencial e^{u} deriva para ela mesma. O que sobra é multiplicar pela derivada do interior u(x).

Passo 3

Identificamos a função interior (o “u” da regra da cadeia):
u(x) = 5-7x.
Agora calculamos a derivada de u(x) em relação a x. Regras usadas: derivada de constante é 0; derivada de a x (onde a é constante) é a.
u'(x) = \frac{d}{dx}(5)-\frac{d}{dx}(7x) = 0 - 7 = -7.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: a derivada de y=e^{u(x)} é
y' = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=5-7x e u'(x)=-7, obtemos
y' = e^{5-7x}\cdot(-7).

Passo 5

Organizando o resultado de forma convencional, escrevemos a constante multiplicando a exponencial na frente:
y' = -7\,e^{5-7x}.
Uma observação prática: para qualquer função do tipo y=e^{ax+b} (onde a e b são constantes), a derivada é y' = a\,e^{ax+b}. Aqui a=-7 e b=5, por isso o resultado y'=-7e^{5-7x}.

Resposta

-7 e^{5-7x}

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