Determine a derivada das seguintes funções:
y=\left(1-\frac{x}{7}\right)^{-7}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\left(1-\frac{x}{7}\right)^{-7} e pede que eu determine a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A função é y=\left(1-\frac{x}{7}\right)^{-7}.
  • O expoente é -7.
  • Há uma expressão linear dentro dos parênteses: 1-\frac{x}{7}.
    A partir daqui vamos calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos reescrever a função como uma composição para facilitar a derivação. Defino a função interna
u(x)=1-\frac{x}{7}.
Assim a função original fica
y = u(x)^{-7}.
Explicando o que vamos usar: quando temos uma função da forma y = [u(x)]^{n}, a regra da cadeia combina a regra da potência com a derivada de u(x). Vou enunciar essas regras de forma clara antes de aplicar.

Passo 3

Regra da potência (para função composta): se y = [u(x)]^{n} com n constante e u função diferenciável, então
\frac{dy}{dx} = n\,[u(x)]^{n-1}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui cada símbolo significa:
  • y é a função que queremos derivar;
  • u(x) é a função interna (dependente de x);
  • n é o expoente constante;
  • \dfrac{du}{dx} é a derivada da função interna em relação a x.
    Esta é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia.

Passo 4

Agora calculo a derivada da função interna u(x). Como
u(x)=1-\frac{x}{7},
a derivada de 1 é 0 e a derivada de \dfrac{x}{7} é \dfrac{1}{7}. Portanto
\frac{du}{dx} = 0 - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7}.

Passo 5

Aplico a regra da potência com n=-7, u(x)=1-\dfrac{x}{7} e \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{7}. Assim
\frac{dy}{dx} = -7\left(1-\frac{x}{7}\right)^{-8}\cdot\left(-\frac{1}{7}\right).
Agora faço a simplificação algébrica: o fator -7 multiplicado por -\dfrac{1}{7} 1, pois
-7\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)=1.
Portanto
\frac{dy}{dx} = \left(1-\frac{x}{7}\right)^{-8}.
Se preferir escrever com potência positiva no denominador,
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{7}\right)^{8}}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\left(1-\frac{x}{7}\right)^{-8}

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