Determine a derivada das seguintes funções:
y=x e^{-x}+e^{3 x}

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada da função y dada por
y = x e^{-x} + e^{3x}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{a função } y \text{ é a soma de duas funções: } x e^{-x} \text{ e } e^{3x}.çãéçõ
A única pergunta: determinar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para qualquer u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.
Aplicando isso ao nosso caso, podemos derivar separadamente x e^{-x} e e^{3x} e somar os resultados.

Passo 3

Para derivar x e^{-x} usamos a regra do produto. A regra do produto diz que, para u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=e^{-x}. Agora calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Para v'(x) usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}. Tomando g(x)=-x obtemos g'(x)=-1, logo
v'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}-x e^{-x}.
Fatorando e^{-x}, fica
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr)=e^{-x}(1-x).

Passo 4

Agora derivamos e^{3x}. Novamente usamos a regra da cadeia com g(x)=3x, de modo que g'(x)=3. Assim
\frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}.
Explicando: a exponencial mantém a forma e^{g(x)} e só multiplica pelo derivado interno g'(x).

Passo 5

Somando as derivadas parciais (regra do Passo 2), obtemos a derivada da função inteira:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr)=e^{-x}(1-x)+3e^{3x}.
Essa é uma forma bem prática para usar na prova. Se quiser, dá para deixar em outras formas equivalentes, por exemplo (1-x)e^{-x}+3e^{3x}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=(1-x)e^{-x}+3e^{3x}

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