Determine a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada em relação a
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A variável independente é
. -
é uma constante (o problema não especifica, então vamos assumir que para que a potência esteja bem definida em reais; o caso será tratado separadamente). - A expressão contém a função seno aplicada a
.
O que se pede: calcular.
Passo 2
Primeiro, para ficar claro e usar notação padrão, escrevo
como
. Assim:
Aqui é útil identificar a parte que depende de
: defino
então
.
Passo 3
Explico um truque padrão para derivar potências com base
(constante) e expoente dependente: usar a exponencial natural. A identidade é
onde
é o logaritmo natural de
. Isso vale sempre que
. Aplicando com
:
Agora está na forma
, o que facilita usar a regra da cadeia.
Passo 4
Vou lembrar a regra da cadeia de forma bem mastigada: se
, então
Aqui
. Então, aplicando:
Como
é constante (porque
é constante), temos
Portanto
Passo 5
Agora calculo
com cuidado. Lembre que
. A derivada da função seno é cosseno, e pela regra da cadeia, quando a entrada é
multiplica-se pela derivada de
, que é
. Assim:
Passo 6
Substituo
,
e volto à base
(usando
):
Usando
, obtemos a forma final simplificada da derivada:
Passo 7
Comentário sobre casos especiais e interpretação (curto e direto):
- Se
, então e . A fórmula acima também dá zero porque . - Se
a expressão pode não ser real para valores gerais de ; por isso assumimos para derivada em valores reais. - A fórmula usa
, que é o log natural da base .
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (sem pular passos): seja
e
.
Substituindo na fórmula: