Determine a derivada de:
x=a^{\operatorname{sen} 2 t}

Passo 1

O enunciado dá a função x = a^{\operatorname{sen} 2 t} e pede a derivada em relação a t.
Informações importantes fornecidas:
  • A variável independente é t.
  • a é uma constante (o problema não especifica, então vamos assumir que a>0 para que a potência esteja bem definida em reais; o caso a=1 será tratado separadamente).
  • A expressão contém a função seno aplicada a 2t.
    O que se pede: calcular \dfrac{dx}{dt}.

Passo 2

Primeiro, para ficar claro e usar notação padrão, escrevo \operatorname{sen} como \sin. Assim:
x = a^{\sin(2t)}.
Aqui é útil identificar a parte que depende de t: defino
u(t) = \sin(2t),
então x(t)=a^{u(t)}.

Passo 3

Explico um truque padrão para derivar potências com base a (constante) e expoente dependente: usar a exponencial natural. A identidade é
a^{u} = e^{u\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Isso vale sempre que a>0. Aplicando com u=u(t):
x(t) = e^{\,u(t)\ln a}.
Agora está na forma e^{\text{(algo que depende de }t)}, o que facilita usar a regra da cadeia.

Passo 4

Vou lembrar a regra da cadeia de forma bem mastigada: se y(t)=e^{g(t)}, então
\frac{dy}{dt}=e^{g(t)}\cdot g'(t).
Aqui g(t)=u(t)\ln a. Então, aplicando:
\frac{dx}{dt}=e^{u(t)\ln a}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(u(t)\ln a\bigr).
Como \ln a é constante (porque a é constante), temos
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)\ln a\bigr)=\ln a\cdot u'(t).
Portanto
\frac{dx}{dt}=e^{u(t)\ln a}\cdot\ln a\cdot u'(t).

Passo 5

Agora calculo u'(t) com cuidado. Lembre que u(t)=\sin(2t). A derivada da função seno é cosseno, e pela regra da cadeia, quando a entrada é 2t multiplica-se pela derivada de 2t, que é 2. Assim:
u'(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot 2 = 2\cos(2t).

Passo 6

Substituo u(t), u'(t) e volto à base a (usando e^{u\ln a}=a^{u}):
\frac{dx}{dt}=e^{\sin(2t)\ln a}\cdot\ln a\cdot\bigl(2\cos(2t)\bigr).
Usando e^{\sin(2t)\ln a}=a^{\sin(2t)}, obtemos a forma final simplificada da derivada:
\frac{dx}{dt}=2\ln(a)\,a^{\sin(2t)}\cos(2t).

Passo 7

Comentário sobre casos especiais e interpretação (curto e direto):
  • Se a=1, então x\equiv1 e \dfrac{dx}{dt}=0. A fórmula acima também dá zero porque \ln(1)=0.
  • Se a\le 0 a expressão a^{\sin(2t)} pode não ser real para valores gerais de \sin(2t); por isso assumimos a>0 para derivada em valores reais.
  • A fórmula usa \ln(a), que é o log natural da base a.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (sem pular passos): seja a=2 e t=\dfrac{\pi}{6}.
\sin\!\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}.
Substituindo na fórmula:
\frac{dx}{dt}\Big|_{a=2,t=\pi/6}=2\ln(2)\,2^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\tfrac{1}{2}=\ln(2)\,2^{\frac{\sqrt{3}}{2}}.

Resposta

\frac{dx}{dt}=2\ln(a)\,a^{\sin(2t)}\cos(2t)

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