1. Explique por que uma função contínua pode não ser derivável.
Dica: esboce o gráfico de uma função contínua formando um “bico” e discuta a diferenciabilidade da função neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que uma função contínua pode não ser derivável. A dica diz para esboçar o gráfico de uma função formando um “bico” e discutir a diferenciabilidade nesse ponto. As informações relevantes que temos:
  • Pedido: justificar por que continuidade não implica diferenciabilidade.
  • Dica: considerar uma função com “bico” (ponto com canto afiado).
  • Não há números nem figuras adicionais fornecidos; a explicação deve ser conceitual e com exemplos simples.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as definições, de forma clara e sem pular etapas.
Definição de continuidade em a:
\text{A função }f\text{ é contínua em }a\text{ se }\lim_{x\to a} f(x)=f(a).çãéí
Isso quer dizer, em palavras, que os valores de f(x) quando x se aproxima de a se aproximam do valor f(a).
Definição de derivada em a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe e é finito. Essa expressão é a razão entre a variação da função e a variação do argumento — é a inclinação da reta tangente, se ela existir.
Expliquei exatamente o que cada símbolo significa:
  • h é um incremento pequeno em x (ou h=x-a);
  • \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é o coeficiente angular da secante que liga os pontos (a,f(a)) e (a+h,f(a+h));
  • o limite quando h\to0 representa a inclinação que as secantes aproximam quando se aproxima de a.

Passo 3

Mostro um fato importante e simples: se f é diferenciável em a então f é contínua em a. Isso serve para entender a relação entre as duas propriedades.
Prova curta e direta:
Suponha que f'(a) existe e é finito. Então
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\xrightarrow[h\to0]{} f'(a).
Multiplicando ambos os lados por h obtemos
f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Tomando limite quando h\to0,
\lim_{h\to0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr)=\lim_{h\to0} h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0\cdot f'(a)=0.
Logo \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a), ou seja, f é contínua em a.
Comentário amigo: isso mostra que diferenciabilidade é uma condição mais forte que continuidade. Mas atenção: o recíproco pode falhar — é disso que precisamos explicar.

Passo 4

Por que continuidade não garante diferenciabilidade? Porque a existência do limite na definição da derivada exige algo mais do que apenas os valores f(x) se aproximarem de f(a): exige que as secantes venham com a mesma inclinação por ambos os lados e que essa inclinação seja finita.
As maneiras principais pelas quais o limite da diferença quociente pode falhar são:
  1. As derivadas laterais existem mas são diferentes: \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\neq\lim_{h\to0^+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. Isso corresponde a um canto ou “bico” (corner).
  2. A razão \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} tende para \pm\infty. Isso corresponde a uma tangente vertical (inclinação que explode).
  3. A razão oscila sem limite (casos mais patológicos, por exemplo funções contínuas mas com comportamento oscilante cada vez mais violento perto de a).
Vou agora exemplificar cada caso com funções simples, mas mantendo o foco no “bico” sugerido.

Passo 5

Exemplo canônico do “bico”: f(x)=|x|. Primeiro verifique continuidade (rápido):
  • f é definida por f(x)=|x| para todo x.
  • \lim_{x\to 0} |x| = 0 = f(0), e para qualquer outro ponto a\neq0 a função é simplesmente linear localmente, logo contínua.
    Portanto f é contínua em todos os pontos.
Agora calcule as derivadas laterais em a=0. Usamos a definição do quociente incremental.
Para h>0 (aproximação pela direita):
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{h}{h}=1.
Tomando limite quando h\to0^+,
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=1.
Para h<0 (aproximação pela esquerda): note que |h|=-h quando h<0.
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Tomando limite quando h\to0^-,
\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=-1.
As derivadas laterais são diferentes ( -1 e 1), então o limite central
\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
não existe. Conclusão: f é contínua em 0 mas não é derivável em 0.

Passo 6

Interpretação geométrica (bem visual): para f(x)=|x| as secantes que vêm da esquerda têm inclinação próxima de -1, e as que vêm da direita têm inclinação próxima de 1. Não existe uma única reta que seja “a tangente” ali — o ponto 0 é um canto afiado (“bico”). Por isso a derivada (inclinação única) não existe naquele ponto.
Se você desenhar o gráfico, verá claramente o V com o vértice no zero — esse vértice é exatamente o “bico” da dica.

Passo 7

Exemplo de outro tipo (tangente vertical): g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}. A função é contínua em 0. Calcule o quociente:
\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}.
Quando h\to0 esse valor cresce sem limite (tende a +\infty ou fica indefinido), logo o limite não existe como número finito. Geometricamente há uma tangente “vertical” em 0 (inclinação não finita), então não há derivada finita em 0. Assim, continuidade com tangente vertical também quebra a diferenciabilidade.

Passo 8

Observação final e um pouco mais “avançada, mas motivadora”: existem funções contínuas em todo lugar que são diferenciáveis em nenhum ponto (função de Weierstrass). Isso mostra que a falha pode ser muito mais extrema do que apenas um bico isolado. Mas para a maioria das provas e concursos, os motivos típicos a lembrar são: canto (derivadas laterais diferentes) e tangente vertical (derivada tende a infinito).

Passo 9

Dica prática para a prova (resumo do que fazer ao encontrar um ponto suspeito):
  • Verifique continuidade primeiro (se não for contínua, fim: não é derivável).
  • Se for contínua, calcule as derivadas laterais \lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\text{e}\quad\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.Se forem iguais e finitas, a função é derivável em a. Se forem diferentes ou infinitas ou não existirem, não é derivável.
  • Procure por sinais visuais no gráfico: canto (bico) ou inclinação que explode apontam para não diferenciabilidade.

Resposta

Uma função contínua pode não ser derivável porque a derivada exige que o limite do quociente incremental exista e seja finito; continuidade apenas garante que f(x)\to f(a) quando x\to a, não que as inclinações das secantes dos dois lados coincidam. Exemplo simples: f(x)=|x| é contínua em 0 mas não é derivável em 0 porque as derivadas laterais são -1 (pela esquerda) e 1 (pela direita), portanto o limite do quociente incremental não existe.

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