Determine a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A expressão dentro do arco-cosseno é
. - A função
só está definida para argumentos em . - Para todo
vale .
Passo 2
Planejamento e ideia principal (cadeia + derivada da função inversa):
- Quando temos uma composição
, usamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a função exterior em relação à sua entrada , depois multiplicamos pela derivada de em relação a . - Uma forma muito didática de obter a derivada de
é usar diferenciação implícita. Faça a substituição . Então temos a relação equivalente
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lembre-se:
- A derivada de
em relação a é (aplicando a regra da cadeia porque depende de ). - A derivada do lado direito é
.
Ao diferenciar obtemos
Isolando
,
Passo 3
Expressar
em termos de
:
- Da relação
segue a identidade trigonométrica . Substituindo temos . - Como o valor de
toma valores em , temos . Portanto
Substituindo isso na expressão para
obtemos a fórmula conhecida (derivada da função
composta com
):
Passo 4
Aplicar ao nosso caso com
:
- Calcule
. - Substituindo na fórmula geral,
Passo 5
Observação sobre domínio da derivada:
- A função original
só está definida quando . Como para todo , isto exige , ou seja . - A expressão da derivada envolve
no denominador. Para que esse denominador seja real e não nulo precisamos de , isto é ou . - Conclusão: para
a derivada é dada pela expressão acima e é finita. No ponto a função está definida ( ) mas o denominador fica zero, logo a derivada clássica no ponto não existe (tende a pela esquerda).