Determine a derivada de:
y=\operatorname{arccos} \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\operatorname{arccos}\!\bigl(e^{x}\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do arco-cosseno é \,e^{x}\,.
  • A função \operatorname{arccos} só está definida para argumentos em [-1,1].
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale \,e^{x}>0.

Passo 2

Planejamento e ideia principal (cadeia + derivada da função inversa):
  • Quando temos uma composição y=\operatorname{arccos}(u(x)), usamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a função exterior \operatorname{arccos} em relação à sua entrada u, depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x.
  • Uma forma muito didática de obter a derivada de \operatorname{arccos} é usar diferenciação implícita. Faça a substituição y=\operatorname{arccos}(u). Então temos a relação equivalente
\cos y = u.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Lembre-se:
  • A derivada de \cos y em relação a x é -\sin y \cdot \dfrac{dy}{dx} (aplicando a regra da cadeia porque y depende de x).
  • A derivada do lado direito é u'=\dfrac{du}{dx}.
Ao diferenciar obtemos
-\sin y\cdot \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{\dfrac{du}{dx}}{\sin y}.

Passo 3

Expressar \sin y em termos de u:
  • Da relação \cos y = u segue a identidade trigonométrica \sin^{2}y + \cos^{2}y = 1. Substituindo \cos y = u temos \sin^{2}y = 1-u^{2}.
  • Como o valor de \operatorname{arccos} toma valores em [0,\pi], temos \sin y \ge 0. Portanto
\sin y = \sqrt{1-u^{2}}.
Substituindo isso na expressão para \dfrac{dy}{dx} obtemos a fórmula conhecida (derivada da função \operatorname{arccos} composta com u):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(u(x))\bigr) = -\,\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.

Passo 4

Aplicar ao nosso caso com u(x)=e^{x}:
  • Calcule u'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Substituindo na fórmula geral,
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{e^{x}}{\sqrt{1-\bigl(e^{x}\bigr)^{2}}} = -\,\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.

Passo 5

Observação sobre domínio da derivada:
  • A função original \operatorname{arccos}(e^{x}) só está definida quando e^{x}\in[-1,1]. Como e^{x}>0 para todo x, isto exige 0<e^{x}\le 1, ou seja x\le 0.
  • A expressão da derivada envolve \sqrt{1-e^{2x}} no denominador. Para que esse denominador seja real e não nulo precisamos de 1-e^{2x}>0, isto é e^{2x}<1 ou x<0.
  • Conclusão: para x<0 a derivada é dada pela expressão acima e é finita. No ponto x=0 a função está definida ( \operatorname{arccos}(1)=0) mas o denominador fica zero, logo a derivada clássica no ponto x=0 não existe (tende a -\infty pela esquerda).

Resposta

y'=-\dfrac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}},\quad x<0

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