Determine a derivada.
y=\cos (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\cos\big(\operatorname{sen} x\big)
e pede para determinar a derivada de y em relação a x. Em outras palavras, precisamos encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é x.
  • A função é uma composição: primeiro calculamos \operatorname{sen} x (seno de x) e depois aplicamos o cosseno sobre esse resultado.
  • Vamos usar notação onde a função interna é chamada de u, ou seja u=\operatorname{sen} x, se isso ajudar a organizar os passos.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia (explicação didática).
Se temos uma função composta y=f(g(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
O que isso significa na prática: primeiro derivamos a função externa f em relação ao seu argumento (chame esse argumento de u), obtemos f'(u) e depois avaliamos em u=g(x). Em seguida multiplicamos pelo derivado da função interna g'(x). Pense assim: a variação total de y quando x muda vem da variação de f em função de u multiplicada pela forma como u varia com x.
Exemplo rápido e intuitivo: se y=\cos(u) e u=\operatorname{sen} x, então primeiro vejo como y muda quando u muda e depois multiplico por quanto u muda quando x muda.

Passo 3

Identificação das funções externa e interna.
Definimos:
u=\operatorname{sen} x
e
y=\cos u.
Aqui u é a função interna (dependendo de x) e \cos u é a função externa (dependendo de u).

Passo 4

Derivada da função externa em relação a u.
A derivada do cosseno em relação ao seu argumento é (fórmula básica):
\frac{d}{du}\big(\cos u\big)=-\sin u.
Explicação: quando a variável de entrada de \cos muda, a taxa de variação é -\sin daquela entrada. Aqui u é essa entrada.

Passo 5

Derivada da função interna em relação a x.
A derivada do seno é (fórmula básica):
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x.
Observação: \operatorname{sen} x é a mesma coisa que \sin x; escrevemos \operatorname{sen} por causa da notação do enunciado.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia e montando a derivada completa.
Usando a regra da cadeia vista no Passo 2, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\big(\cos u\big)\Big|_{u=\operatorname{sen} x}\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big).
Substituindo o que achamos nos Passos 4 e 5:
\frac{dy}{dx}=-\sin\big(\operatorname{sen} x\big)\cdot\cos x.
Podemos escrever de forma equivalente (trocar a ordem dos fatores):
\frac{dy}{dx}=-\cos x\;\sin\big(\operatorname{sen} x\big).

Passo 7

Pequena verificação prática (exemplo numérico) e dica para prova.
Verificação em um ponto simples: em x=0,
\operatorname{sen} 0=0,\qquad \sin\big(\operatorname{sen} 0\big)=\sin 0=0,\qquad \cos 0=1,
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\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}=-1\cdot 0 = 0,
o que faz sentido e ajuda a checar que a expressão está consistente.
Dica para a prova: sempre identifique claramente a função externa f(u) e a interna g(x); escreva u=g(x) e aplique f'(u)\cdot g'(x). Não esqueça de multiplicar pelo derivado da parte interna — esse é o erro mais comum.

Resposta

-\sin\big(\operatorname{sen} x\big)\cos x

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