Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
h(x)=2 \sqrt{x}-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função h(x)=2\sqrt{x}-x. Vou responder os itens mais comuns que costumam ser pedidos numa prova para uma função desse tipo: domínio, pontos de continuidade/diferenciabilidade, derivada, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos locais e globais, concavidade e pontos de inflexão, zeros (interceptos) e imagem (range). Todas as informações que usarei partem apenas da expressão \,h(x)=2\sqrt{x}-x\,.

Passo 2

Domínio: a expressão \sqrt{x} exige que x\ge 0. Portanto o domínio é
[0,\infty).
Explicação curta: não existe raiz real de número negativo, então só consideramos x não negativos.

Passo 3

Continuidade e diferenciabilidade iniciais: a função \sqrt{x} é contínua em [0,\infty) e diferenciável em (0,\infty). Assim h é contínua em [0,\infty) e diferenciável em (0,\infty). Em x=0 a função é contínua (porque \sqrt{0}=0 e a expressão dá h(0)=0), mas a derivada à direita tende a infinito (ver passo seguinte), portanto h não é diferenciável em x=0.

Passo 4

Cálculo da derivada (para x>0): use a regra de derivar \sqrt{x}=x^{1/2}. A derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Aplicando isso a h(x)=2\sqrt{x}-x temos, para x>0,
h'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1.
Comentário didático: deriving termo a termo é padrão — a constante multiplicativa sai na frente; a derivada de -x é -1.

Passo 5

Comportamento da derivada em x=0: calcule a derivada direita em 0 por limite:
\lim_{t\to 0^+}\frac{h(t)-h(0)}{t-0}=\lim_{t\to 0^+}\frac{2\sqrt{t}-t}{t}=\lim_{t\to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{t}}-1\right)=+\infty.
Portanto não existe derivada finita em x=0 (há uma tangente vertical tipo infinito). Isso confirma que a fórmula de h'(x) vale apenas para x>0.

Passo 6

Pontos críticos: são pontos onde h'(x)=0 ou onde h' não existe (dentro do domínio).
Resolver h'(x)=0 para x>0:
\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{x}}=1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=1 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Além disso x=0 é ponto do domínio onde h' não existe, então consideramos x=0 também como candidato (ponto crítico de tipo endpoint / singular). Portanto candidatos: x=0 e x=1.

Passo 7

Sinais da derivada e monotonicidade (como usar a expressão h'(x)=\tfrac{1}{\sqrt{x}}-1):
  • Para 0<x<1 temos \sqrt{x}<1 então \tfrac{1}{\sqrt{x}}>1 e assim h'(x)>0. Logo h é crescente em (0,1).
  • Para x>1 temos \sqrt{x}>1 então \tfrac{1}{\sqrt{x}}<1 e h'(x)<0. Logo h é decrescente em (1,\infty).
    No ponto x=0 a derivada da direita é +\infty, mas considerando o domínio, a função cresce a partir de 0. Portanto podemos dizer de forma prática: h é crescente em [0,1] e decrescente em [1,\infty).

Passo 8

Extremos locais e globais:
  • Em x=1 a derivada muda de positiva para negativa (cresce antes e decresce depois), logo x=1 é um máximo local. Calcule o valor:
h(1)=2\sqrt{1}-1=2-1=1.
  • Em x=0, por ser extremo no bordo do domínio, como a função cresce ao sair de 0, x=0 é um mínimo local (endpoint). Valor:
h(0)=0.
  • Sobre extremos globais: o máximo em x=1 é global, porque para x\to\infty a função tende a -\infty (veja passo 10), então h(1)=1 é o maior valor possível. Não existe mínimo global porque h(x)\to -\infty quando x\to\infty.

Passo 9

Segunda derivada e concavidade (para x>0): derive h'(x)=x^{-1/2}-1:
h''(x)= -\tfrac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x^{3/2}}.
Observação: para todo x>0 temos h''(x)<0. Portanto h é côncava para baixo em (0,\infty). Não há pontos de inflexão em (0,\infty) porque a concavidade não muda de sinal. Em x=0 a segunda derivada não está definida; não há inflexão ali.

Passo 10

Zeros (interceptos com o eixo x) e comportamento assintótico:
Resolver h(x)=0:
2\sqrt{x}-x=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}(2-\sqrt{x})=0.
Isso dá \sqrt{x}=0 (isto é x=0) ou \sqrt{x}=2 (isto é x=4). Portanto as raízes são x=0 e x=4; pontos (0,0) e (4,0).
Comportamento para x\to\infty: o termo -x domina 2\sqrt{x}, logo
\lim_{x\to\infty}h(x)=-\infty.

Passo 11

Imagem (range) da função: já vimos que o máximo global é h(1)=1 e que h vai a -\infty quando x\to\infty. Portanto a imagem é
(-\infty,\,1].

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Derivada: h'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1 para x>0; h' não existe em x=0 (derivada direita infinita).
Pontos críticos: x=0 (endpoint, h(0)=0) e x=1 (interior, h(1)=1).
Monotonicidade: crescente em [0,1], decrescente em [1,\infty).
Extremos: máximo global em x=1 com valor 1; mínimo local em x=0 com valor 0; não há mínimo global (tende a -\infty).
Segunda derivada e concavidade: h''(x)=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}<0 para x>0, logo côncava para baixo em (0,\infty); sem pontos de inflexão.
Zeros (interceptos): x=0 e x=4 (pontos (0,0) e (4,0)).
Imagem (range): (-\infty,\,1].

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