Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
. Vou responder os itens mais comuns que costumam ser pedidos numa prova para uma função desse tipo: domínio, pontos de continuidade/diferenciabilidade, derivada, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos locais e globais, concavidade e pontos de inflexão, zeros (interceptos) e imagem (range). Todas as informações que usarei partem apenas da expressão
.
Passo 2
Domínio: a expressão
exige que
. Portanto o domínio é
Explicação curta: não existe raiz real de número negativo, então só consideramos
não negativos.
Passo 3
Continuidade e diferenciabilidade iniciais: a função
é contínua em
e diferenciável em
. Assim
é contínua em
e diferenciável em
. Em
a função é contínua (porque
e a expressão dá
), mas a derivada à direita tende a infinito (ver passo seguinte), portanto
não é diferenciável em
.
Passo 4
Cálculo da derivada (para
): use a regra de derivar
. A derivada de
é
.
Aplicando isso a temos, para
,
Aplicando isso a
Comentário didático: deriving termo a termo é padrão — a constante multiplicativa sai na frente; a derivada de
é
.
Passo 5
Comportamento da derivada em
: calcule a derivada direita em
por limite:
Portanto não existe derivada finita em
(há uma tangente vertical tipo infinito). Isso confirma que a fórmula de
vale apenas para
.
Passo 6
Pontos críticos: são pontos onde
ou onde
não existe (dentro do domínio).
Resolver para
:
Resolver
Além disso
é ponto do domínio onde
não existe, então consideramos
também como candidato (ponto crítico de tipo endpoint / singular). Portanto candidatos:
e
.
Passo 7
Sinais da derivada e monotonicidade (como usar a expressão
):
- Para
temos então e assim . Logo é crescente em . - Para
temos então e . Logo é decrescente em .
No pontoa derivada da direita é , mas considerando o domínio, a função cresce a partir de . Portanto podemos dizer de forma prática: é crescente em e decrescente em .
Passo 8
Extremos locais e globais:
- Em
a derivada muda de positiva para negativa (cresce antes e decresce depois), logo é um máximo local. Calcule o valor:
- Em
, por ser extremo no bordo do domínio, como a função cresce ao sair de , é um mínimo local (endpoint). Valor:
- Sobre extremos globais: o máximo em
é global, porque para a função tende a (veja passo 10), então é o maior valor possível. Não existe mínimo global porque quando .
Passo 9
Segunda derivada e concavidade (para
): derive
:
Observação: para todo
temos
. Portanto
é côncava para baixo em
. Não há pontos de inflexão em
porque a concavidade não muda de sinal. Em
a segunda derivada não está definida; não há inflexão ali.
Passo 10
Zeros (interceptos com o eixo
) e comportamento assintótico:
Resolver :
Resolver
Isso dá
(isto é
) ou
(isto é
). Portanto as raízes são
e
; pontos
e
.
Comportamento para : o termo
domina
, logo
Comportamento para
Passo 11
Imagem (range) da função: já vimos que o máximo global é
e que
vai a
quando
. Portanto a imagem é
Resposta
Domínio:
Derivada: para
;
não existe em
(derivada direita infinita).
Pontos críticos: (endpoint,
) e
(interior,
).
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
.
Extremos: máximo global em com valor
; mínimo local em
com valor
; não há mínimo global (tende a
).
Segunda derivada e concavidade: para
, logo côncava para baixo em
; sem pontos de inflexão.
Zeros (interceptos): e
(pontos
e
).
Imagem (range): .
Derivada:
Pontos críticos:
Monotonicidade: crescente em
Extremos: máximo global em
Segunda derivada e concavidade:
Zeros (interceptos):
Imagem (range):