Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
f(x)=x-\ln (x)

Passo 1

Temos a função f(x)=x-\ln(x). Vou responder os itens mais comuns que costumam cair em prova sobre uma função dada:
(a) domínio; (b) continuidade e diferenciabilidade; (c) derivada e pontos críticos; (d) monotonicidade e classificação de extremos; (e) segunda derivada e concavidade (pontos de inflexão); (f) limites nas fronteiras do domínio; (g) assíntotas; (h) injetividade / invertibilidade (restrições onde é invertível). Essas são as informações que vamos extrair de f.

Passo 2

Domínio. A função contém \ln(x). A função logaritmo natural \ln(x) só está definida para x>0. Logo o domínio de f é
(0,\infty).
Explicando devagar: sempre que aparece \ln(x) você lembra que precisa de x>0, porque o logaritmo de zero ou número negativo não existe no conjunto dos reais.

Passo 3

Continuidade e diferenciabilidade. A soma e diferença de funções que são contínuas/diferenciáveis em um ponto continuam sendo contínuas/diferenciáveis nesse ponto. Como tanto x quanto \ln(x) são contínuas e diferenciáveis para x>0, então f(x)=x-\ln(x) é contínua e diferenciável em todo o domínio (0,\infty). Na prática: posso derivar normalmente em qualquer x>0.

Passo 4

Cálculo da derivada e explicação do que estamos fazendo. Para estudar crescimento e extremos usamos a derivada. A regra que usei: a derivada de x é 1 e a derivada de \ln(x) é 1/x. Então
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=1-\frac{1}{x}.
Para simplificar e analisar o sinal é útil escrever como fração:
f'(x)=\frac{x-1}{x}.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável; f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em x. Zerar a derivada (ou onde a derivada não existe) nos dá candidatos a pontos críticos.

Passo 5

Pontos críticos. Pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou f' não existe. Como f' está definida para todos x>0 (o único problema seria em x=0, mas 0 não pertence ao domínio), só precisamos resolver
\frac{x-1}{x}=0.
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Então x-1=0
x=1.
Portanto x=1 é o único ponto crítico em (0,\infty). Vamos classificar esse ponto nos próximos passos.

Passo 6

Monotonicidade (onde a função cresce ou decresce) usando o sinal de f'(x). Temos
f'(x)=\frac{x-1}{x}.
Para analisar o sinal, eu observo o sinal do numerador x-1 e do denominador x:
  • Para 0<x<1: numerador x-1<0, denominador x>0 f'(x)<0. Então f é decrescente em (0,1).
  • Para x>1: numerador x-1>0, denominador x>0 f'(x)>0. Então f é crescente em (1,\infty).
Interpretação prática: a função diminui até x=1 e aumenta depois de x=1. Por isso x=1 é um mínimo local. Como os limites nas duas extremidades do domínio vão a +\infty (vou mostrar isso), esse mínimo é também mínimo global.

Passo 7

Classificação do extremo em x=1 por segunda derivada. Calculo a segunda derivada para verificar concavidade e confirmar a natureza do extremo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr)=\frac{d}{dx}\Bigl(-x^{-1}\Bigr)=(-1)(-1)x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.
Observações: a derivada de -1/x é 1/x^{2}; f''(x) existe para todo x>0. Note que para todo x>0 temos f''(x)=\dfrac{1}{x^{2}}>0. Quando f''(x)>0 a função é côncava para cima (convexa), então um ponto crítico onde f' muda de negativo para positivo é um mínimo local. Assim:
  • x=1 é um mínimo (local). Como a função tende a +\infty nas duas extremidades do domínio, esse mínimo é global. O valor mínimo é
f(1)=1-\ln(1)=1-0=1.
Portanto o ponto de mínimo global é \bigl(1,1\bigr).

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão. Já vimos que
f''(x)=\frac{1}{x^{2}}>0\quad\text{para todo }x>0.
Significado: a curva não muda de concavidade em nenhum ponto do domínio; ela é sempre côncava para cima (sempre convexa). Assim não existem pontos de inflexão em (0,\infty). Explicando: ponto de inflexão é onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa; aqui isso não ocorre.

Passo 9

Limites nas fronteiras do domínio (com explicação). O domínio é (0,\infty), então precisamos olhar o comportamento em x\to0^{+} e em x\to+\infty.
  • Limite quando x\to0^{+}. Sabemos que \ln(x)\to -\infty quando x\to0^{+}. Então
\lim_{x\to0^{+}} f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\bigl(x-\ln(x)\bigr)=0-(-\infty)=+\infty.
Rigorosamente: o termo x tende a 0 que é insignificante diante do -\ln(x) que diverge para +\infty. Portanto f(x)\to+\infty quando x\to0^{+}.
  • Limite quando x\to+\infty. Aqui x cresce muito mais rápido que \ln(x), então intuitivamente x-\ln(x)\to+\infty. Formalmente:
\lim_{x\to+\infty} \bigl(x-\ln(x)\bigr)=+\infty.
Uma forma de ver: \dfrac{\ln(x)}{x}\to0 quando x\to\infty, então \ln(x)=o(x), logo x-\ln(x)\sim x\to\infty.
Esses limites confirmam que a função sobe para +\infty em ambas as bordas do domínio, o que sustenta que o mínimo em x=1 é global.

Passo 10

Assíntotas. Com base nos limites:
  • Assíntota vertical: sim, há comportamento não limitado quando x\to0^{+}: f(x)\to+\infty. Portanto a reta vertical x=0 é uma assimptota vertical (é uma fronteira do domínio onde a função diverge). Note que x=0 não pertence ao domínio, então é correta dizer que existe uma assíntota vertical em x=0.
  • Assíntota horizontal: para x\to\infty, f(x)\to\infty, então não há assíntota horizontal.
  • Assíntota oblíqua (reta y=mx+b com m\neq0): o coeficiente angular candidato seria
m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x-\ln(x)}{x}=1-\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=1.
Então a inclinação parece ser m=1. Mas o termo b seria
b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)=\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\ln(x)-1\cdot x\bigr)=\lim_{x\to\infty}\bigl(-\ln(x)\bigr)=-\infty,
que não é finito. Logo não existe uma assíntota oblíqua do tipo reta finita y=mx+b. Em linguagem simples: a função cresce com inclinação efetiva 1 à custa de um termo -\ln(x) que diverge (negativamente) sem convergir para uma constante, então não há reta y=mx+b que aproxime f ao infinito.

Passo 11

Injetividade e inversibilidade. A função é decrescente em (0,1) e crescente em (1,\infty) com um único mínimo em x=1. Consequência:
  • Em todo o domínio (0,\infty) a função não é injetora (não é um-para-um), porque para valores y>1 existem dois x distintos com f(x)=y (um à esquerda de 1 e outro à direita). Portanto f não tem inversa definida em todo (0,\infty).
  • Se você restringir o domínio a (0,1] ou a [1,\infty), aí a função é monotona estrita (decrescente na primeira e crescente na segunda) e portanto tem inversa nessas restrições.

Passo 12

Resumo interpretativo e como usar isso numa prova (dica de amigo). Em uma prova, comece sempre pelo domínio, depois calcule f' e resolva f'=0 para achar pontos críticos. Use o sinal de f' para monotonicidade e f'' (quando for fácil) para confirmar natureza dos extremos. Calcule limites nas bordas do domínio para verificar comportamento (assíntotas, mínimos globais). Para esta função os passos são curtos e diretos e não exigem cálculo pesado — perfeito para fazer rápido na prova.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Derivada: f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}
Pontos críticos: x=1
Monotonicidade: decrescente em (0,1), crescente em (1,\infty)
Extremo: mínimo global em x=1 com valor f(1)=1 (ponto (1,1))
Segunda derivada / concavidade: f''(x)=\dfrac{1}{x^{2}}>0 para todo x>0; função sempre côncava para cima; sem pontos de inflexão
Limites: \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
Assíntotas: assíntota vertical em x=0; não há assíntota horizontal; não existe assíntota oblíqua finita y=mx+b (o candidato m=1 b=-\infty)
Injetividade: não é injetora em (0,\infty); é injetora em cada intervalo (0,1] e [1,\infty).

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