Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
Passo 1
Temos a função
. Vou responder os itens mais comuns que costumam cair em prova sobre uma função dada:
(a) domínio; (b) continuidade e diferenciabilidade; (c) derivada e pontos críticos; (d) monotonicidade e classificação de extremos; (e) segunda derivada e concavidade (pontos de inflexão); (f) limites nas fronteiras do domínio; (g) assíntotas; (h) injetividade / invertibilidade (restrições onde é invertível). Essas são as informações que vamos extrair de .
(a) domínio; (b) continuidade e diferenciabilidade; (c) derivada e pontos críticos; (d) monotonicidade e classificação de extremos; (e) segunda derivada e concavidade (pontos de inflexão); (f) limites nas fronteiras do domínio; (g) assíntotas; (h) injetividade / invertibilidade (restrições onde é invertível). Essas são as informações que vamos extrair de
Passo 2
Domínio. A função contém
. A função logaritmo natural
só está definida para
. Logo o domínio de
é
Explicando devagar: sempre que aparece
você lembra que precisa de
, porque o logaritmo de zero ou número negativo não existe no conjunto dos reais.
Passo 3
Continuidade e diferenciabilidade. A soma e diferença de funções que são contínuas/diferenciáveis em um ponto continuam sendo contínuas/diferenciáveis nesse ponto. Como tanto
quanto
são contínuas e diferenciáveis para
, então
é contínua e diferenciável em todo o domínio
. Na prática: posso derivar normalmente em qualquer
.
Passo 4
Cálculo da derivada e explicação do que estamos fazendo. Para estudar crescimento e extremos usamos a derivada. A regra que usei: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Então
Para simplificar e analisar o sinal é útil escrever como fração:
Aqui cada símbolo significa:
é a variável;
é a taxa de variação instantânea de
em
. Zerar a derivada (ou onde a derivada não existe) nos dá candidatos a pontos críticos.
Passo 5
Pontos críticos. Pontos críticos são pontos do domínio onde
ou
não existe. Como
está definida para todos
(o único problema seria em
, mas
não pertence ao domínio), só precisamos resolver
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Então
dá
Portanto
é o único ponto crítico em
. Vamos classificar esse ponto nos próximos passos.
Passo 6
Monotonicidade (onde a função cresce ou decresce) usando o sinal de
. Temos
Para analisar o sinal, eu observo o sinal do numerador
e do denominador
:
- Para
: numerador , denominador → . Então é decrescente em . - Para
: numerador , denominador → . Então é crescente em .
Interpretação prática: a função diminui até
e aumenta depois de
. Por isso
é um mínimo local. Como os limites nas duas extremidades do domínio vão a
(vou mostrar isso), esse mínimo é também mínimo global.
Passo 7
Classificação do extremo em
por segunda derivada. Calculo a segunda derivada para verificar concavidade e confirmar a natureza do extremo:
Observações: a derivada de
é
;
existe para todo
. Note que para todo
temos
. Quando
a função é côncava para cima (convexa), então um ponto crítico onde
muda de negativo para positivo é um mínimo local. Assim:
-
é um mínimo (local). Como a função tende a nas duas extremidades do domínio, esse mínimo é global. O valor mínimo é
Portanto o ponto de mínimo global é
.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão. Já vimos que
Significado: a curva não muda de concavidade em nenhum ponto do domínio; ela é sempre côncava para cima (sempre convexa). Assim não existem pontos de inflexão em
. Explicando: ponto de inflexão é onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa; aqui isso não ocorre.
Passo 9
Limites nas fronteiras do domínio (com explicação). O domínio é
, então precisamos olhar o comportamento em
e em
.
- Limite quando
. Sabemos que quando . Então
Rigorosamente: o termo
tende a
que é insignificante diante do
que diverge para
. Portanto
quando
.
- Limite quando
. Aqui cresce muito mais rápido que , então intuitivamente . Formalmente:
Uma forma de ver:
quando
, então
, logo
.
Esses limites confirmam que a função sobe para
em ambas as bordas do domínio, o que sustenta que o mínimo em
é global.
Passo 10
Assíntotas. Com base nos limites:
- Assíntota vertical: sim, há comportamento não limitado quando
: . Portanto a reta vertical é uma assimptota vertical (é uma fronteira do domínio onde a função diverge). Note que não pertence ao domínio, então é correta dizer que existe uma assíntota vertical em . - Assíntota horizontal: para
, , então não há assíntota horizontal. - Assíntota oblíqua (reta
com ): o coeficiente angular candidato seria
Então a inclinação parece ser
. Mas o termo
seria
que não é finito. Logo não existe uma assíntota oblíqua do tipo reta finita
. Em linguagem simples: a função cresce com inclinação efetiva
à custa de um termo
que diverge (negativamente) sem convergir para uma constante, então não há reta
que aproxime
ao infinito.
Passo 11
Injetividade e inversibilidade. A função é decrescente em
e crescente em
com um único mínimo em
. Consequência:
- Em todo o domínio
a função não é injetora (não é um-para-um), porque para valores existem dois distintos com (um à esquerda de e outro à direita). Portanto não tem inversa definida em todo . - Se você restringir o domínio a
ou a , aí a função é monotona estrita (decrescente na primeira e crescente na segunda) e portanto tem inversa nessas restrições.
Passo 12
Resumo interpretativo e como usar isso numa prova (dica de amigo). Em uma prova, comece sempre pelo domínio, depois calcule
e resolva
para achar pontos críticos. Use o sinal de
para monotonicidade e
(quando for fácil) para confirmar natureza dos extremos. Calcule limites nas bordas do domínio para verificar comportamento (assíntotas, mínimos globais). Para esta função os passos são curtos e diretos e não exigem cálculo pesado — perfeito para fazer rápido na prova.
Resposta
Domínio:
Derivada:
Pontos críticos:
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
Extremo: mínimo global em com valor
(ponto
)
Segunda derivada / concavidade: para todo
; função sempre côncava para cima; sem pontos de inflexão
Limites: ,
Assíntotas: assíntota vertical em ; não há assíntota horizontal; não existe assíntota oblíqua finita
(o candidato
dá
)
Injetividade: não é injetora em ; é injetora em cada intervalo
e
.
Derivada:
Pontos críticos:
Monotonicidade: decrescente em
Extremo: mínimo global em
Segunda derivada / concavidade:
Limites:
Assíntotas: assíntota vertical em
Injetividade: não é injetora em