Determine as derivadas abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
.
Não há outros dados; a tarefa é calcular .
Não há outros dados; a tarefa é calcular
Passo 2
Vamos decompor a função em uma composição de duas funções para facilitar. Defino a função interior
e a função exterior
A função que queremos derivar é
.
Agora uma pequena aula sobre a regra que vamos usar: se
então, pela regra da cadeia,
Isto significa que primeiro derivamos a função exterior em relação a
e depois multiplicamos pelo derivado da função interior em relação a
.
Passo 3
Precisamos da derivada da função exterior
. Uma forma rápida de ver isso é por diferenciação implícita: se
então
; diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
. Como
, segue
Portanto
Passo 4
Agora calculemos o derivado da função interior
. Lembrete rápido: a derivada de
é
. Aplicando isso,
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia com
e
temos
Substituindo
e
,
Passo 6
Simplificando o quadrado no denominador:
logo
Passo 7
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se tivéssemos
, a derivada seria
mesma aplicação da regra da cadeia (derivado da arctg vezes derivado do interior).
Força aí — essa técnica de “identificar interior e exterior + regra da cadeia” resolve muitos exercícios parecidos.