Determine as derivadas abaixo.
(b) \operatorname{arctg}\left(2 e^{4 x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}\!\bigl(2 e^{4 x}\bigr).
Não há outros dados; a tarefa é calcular f'(x).

Passo 2

Vamos decompor a função em uma composição de duas funções para facilitar. Defino a função interior
u(x)=2 e^{4x}
e a função exterior
g(u)=\operatorname{arctg}(u).
A função que queremos derivar é f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).
Agora uma pequena aula sobre a regra que vamos usar: se f(x)=g(u(x)) então, pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Isto significa que primeiro derivamos a função exterior em relação a u e depois multiplicamos pelo derivado da função interior em relação a x.

Passo 3

Precisamos da derivada da função exterior g(u)=\operatorname{arctg}(u). Uma forma rápida de ver isso é por diferenciação implícita: se y=\operatorname{arctg}(u) então \tan y=u; diferenciando ambos os lados em relação a u obtemos \operatorname{sec}^2 y\cdot \dfrac{dy}{du}=1. Como \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y=1+u^2, segue
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^2}.
Portanto
g'(u)=\frac{1}{1+u^2}.

Passo 4

Agora calculemos o derivado da função interior u(x)=2 e^{4x}. Lembrete rápido: a derivada de e^{a x} é a e^{a x}. Aplicando isso,
u'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}e^{4x}=2\cdot(4 e^{4x})=8 e^{4x}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia com g'(u) e u'(x) temos
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{1+\bigl(u(x)\bigr)^2}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=2 e^{4x} e u'(x)=8 e^{4x},
f'(x)=\frac{8 e^{4x}}{1+\bigl(2 e^{4x}\bigr)^2}.

Passo 6

Simplificando o quadrado no denominador:
\bigl(2 e^{4x}\bigr)^2=4 e^{8x},
logo
f'(x)=\frac{8 e^{4x}}{1+4 e^{8x}}.

Passo 7

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se tivéssemos h(x)=\operatorname{arctg}(3x), a derivada seria
h'(x)=\frac{3}{1+(3x)^2}=\frac{3}{1+9x^2},
mesma aplicação da regra da cadeia (derivado da arctg vezes derivado do interior).
Força aí — essa técnica de “identificar interior e exterior + regra da cadeia” resolve muitos exercícios parecidos.

Resposta

\dfrac{8 e^{4x}}{1+4 e^{8x}}

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