Determine as derivadas abaixo.
(a) \ln (\cos (x)-\operatorname{sec} (x)).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de \ln(\cos x - \operatorname{sec} x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\ln(\cos x - \operatorname{sec} x).
  • Para que f esteja bem definida precisamos ter \cos x definido (logo \cos x \neq 0) e o argumento do log diferente de zero e, se quisermos a função real, positivo: \cos x - \operatorname{sec} x \neq 0 (e para valores reais devemos ter \cos x - \operatorname{sec} x>0).
  • Em pontos onde \cos x=0 as expressões com \operatorname{sec} x não fazem sentido, então esses x estão fora do domínio.

Passo 2

Plano de resolução (o método que vamos usar): aplicar a regra da cadeia para derivada do log. A fórmula básica que precisamos é:
\text{Se }F(x)=\ln(u(x))\text{ então }F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.ã
Aqui u(x)=\cos x - \operatorname{sec} x. Primeiro vamos calcular u'(x) e depois dividir por u(x).

Passo 3

Derivadas elementares que vamos usar e suas explicações rápidas:
  • A derivada de \cos x é -\sin x. Isso vem da definição da derivada e das propriedades trigonométricas.
  • A derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x \tan x. Uma forma de ver isso é escrever \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e aplicar regra da cadeia e potência: \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec} x\tan x.
Agora calculemos u'(x):
u(x)=\cos x - \operatorname{sec} x
u'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)-\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) = -\sin x - \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do log (regra da cadeia):
\frac{d}{dx}\ln(\cos x - \operatorname{sec} x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\sin x - \operatorname{sec} x\tan x}{\cos x - \operatorname{sec} x}.
Essa já é uma expressão correta para a derivada. Vamos agora simplificá-la para uma forma mais compacta e que às vezes facilita a interpretação na prova.

Passo 5

Simplificação algébrica detalhada (passo a passo). Primeiro escrevemos \operatorname{sec} e \tan em termos de seno e cosseno:
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},\qquad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Então
\operatorname{sec} x\tan x=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
Substituindo na derivada:
\frac{-\sin x - \operatorname{sec} x\tan x}{\cos x - \operatorname{sec} x} = \frac{-\sin x - \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}}{\cos x - \dfrac{1}{\cos x}}.
Colocando cada parte sobre um denominador comum para limpar frações: no numerador fatoramos -\sin x,
\text{num} = -\sin x\!\left(1+\frac{1}{\cos^{2}x}\right) = -\sin x\cdot\frac{1+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}.
No denominador escrevemos sobre \cos x:
\text{den} = \frac{\cos^{2}x-1}{\cos x} = -\frac{1-\cos^{2}x}{\cos x} = -\frac{\sin^{2}x}{\cos x}.
Agora a razão num/den é
\frac{-\sin x\cdot\dfrac{1+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}}{-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x}} = \frac{\sin x\cdot\dfrac{1+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}}{\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x}}
(os sinais negativos cancelaram). Multiplicando pela inversa do denominador:
= \left(\sin x\cdot\frac{1+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}\right)\cdot\left(\frac{\cos x}{\sin^{2}x}\right).
Agora cancele \sin x com parte de \sin^{2}x e cancele um \cos x com parte de \cos^{2}x:
= \frac{1+\cos^{2}x}{\cos x\sin x}.
Portanto a forma simplificada da derivada é
\frac{1+\cos^{2}x}{\sin x\,\cos x}.

Passo 6

Observações sobre domínio e equivalência das formas:
  • A expressão inicialmente obtida \dfrac{-\sin x - \operatorname{sec} x\tan x}{\cos x - \operatorname{sec} x} é válida sempre que \cos x\neq 0 e \cos x - \operatorname{sec} x \neq 0 (pois vem de u'(x)/u(x) com u(x)\neq0).
  • A forma simplificada \dfrac{1+\cos^{2}x}{\sin x\,\cos x} exige também \sin x\neq 0 e \cos x\neq0 (divisões por zero evitadas). Em pontos onde \sin x=0 a expressão simplificada aparenta dar divisão por zero, mas isso corresponde a pontos onde a transformação algébrica dividiu por \sin x; nesses pontos deve-se voltar à forma original para verificar existência de derivada. Em resumo, as duas formas são equivalentes nas interseções de seus domínios.
Força aí! Se quiser, faço algumas verificações numéricas rápidas para ganhar confiança ou mostro como derivar outras variações parecidas.

Resposta

\dfrac{1+\cos^{2}x}{\sin x\,\cos x}

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